Полный дифференциал функции двух переменных примеры решения. Полный дифференциал функции

Как видим, для нахождения дифференциала нужно умножить производную на dx . Это позволяет из таблицы формул для производных сразу записать соответствующую таблицу для дифференциалов.

Полный дифференциал для функции двух переменных:

Полный дифференциал для функции трех переменных равен сумме частных дифференциалов: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x,y,z)dz

Определение . Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x 0 , если ее приращение в этой точке можно представить в виде ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, где A – константа, а α(∆x) – бесконечно малая при ∆x → 0.
Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке, причем A=f’(x 0).

Пусть f(x) дифференцируема в точке x 0 и f "(x 0)≠0 , тогда ∆y=f’(x 0)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x 0)∆x.
, то есть ∆y~f’(x 0)∆x. Следовательно, f’(x 0)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x 0 и обозначают dy(x 0) или df(x 0). Итак, для произвольных значений x
dy=f′(x)∆x. (1)
Полагают dx=∆x, тогда
dy=f′(x)dx. (2)

Пример . Найти производные и дифференциалы данных функций.
а) y=4 tg2 x
Решение:

дифференциал:
б)
Решение:

дифференциал:
в) y=arcsin 2 (lnx)
Решение:

дифференциал:
г)
Решение:
=
дифференциал:

Пример . Для функции y=x 3 найти выражение для ∆y и dy при некоторых значениях x и ∆x.
Решение . ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 ; dy=3x 2 ∆x (взяли главную линейную относительно ∆x часть ∆y). В данном случае α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

Выходные данные сборника:

О ДИФФЕРЕНЦИАЛЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Ловков Иван Юрьевич

студент Московского государственного университета информационных технологий, радиотехники и электроники, РФ, г. Серпухов

E - mail : alkasardancer @ rambler . ru

Таперечкина Вера Алексеевна

канд. физ.-мат. наук, доцент Московского государственного университета информационных технологий, радиотехники и электроники, РФ, г. Серпухов

ABOUT SECOND-ORDER DIFFERENTIAL

Lovkov Ivan

student of Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russia, Serpukhov

Vera Taperechkina

candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of Moscow State University of Information Technologies, Radio Engineering and Electronics, Russia, Serpukhov

АННОТАЦИЯ

В работе рассмотрены способы нахождения производных и дифференциалов первого и второго порядков для сложных функций двух переменных.

ABSTRACT

Calculation methods of derivative and first and second differentials for composite functions of two variables.

Ключевые слова: частные производные; дифференциал.

Keywords : partial derivatives; differential.

1. Введение.

Сформулируем некоторые факты из теории функций многих переменных, которые понадобятся нам далее.

Определение: функция z=f(u, v) называется дифференцируемой в точке (u, v), если ее приращение Δz представимо в виде:

Линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается dz.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости) см.

Если в некоторой окрестности т.(u, v) существуют непрерывные частные производные и , то функция f(u, v) дифференцируема в этой точке и

(du=Δu, dv=Δv). (1)

Определение: Вторым дифференциалом функции z=f(u, v) в данной точке (u, v) называется первый дифференциал от первого дифференциала функции f(u, v), т.е.

Из определения второго дифференциала z=f(u, v), где u и v – независимые переменные, следует

Таким образом, справедлива формула:

При выводе формулы использована теорема Шварца о равенстве смешанных производных . Это равенство справедливо при условии, что определены в окрестности т.(u, v) и непрерывны в т.(u, v). cм.

Формула для нахождения 2-го дифференциала может быть записана символически в следующем виде: – формальное возведение скобки в квадрат с последующим формальным умножением справа на f(x y) дает полученную ранее формулу . Аналогично справедлива формула для 3-го дифференциала:

И вообще:

Где формальное возведение в n-ую степень производится по формуле бинома Ньютона:

;

Отметим, что первый дифференциал функции двух переменных обладает свойством инвариантности формы. То есть, если u и v - независимые переменные, то для функции z=f(u, v), согласно (1)

Пусть теперь u=u(x y), v=v(x y), тогда z=f(u(x y), v(x y)), x и y - независимые переменные, тогда

Используя известные формулы для производной сложной функции:

Тогда из (3) и (4) получим:

Таким образом,

(5)

где - первый дифференциал функции u, - первый дифференциал функции v.

Сравнивая (1) и (5), видим, что формальная запись формулы для dz сохраняется, но если в (1) du=Δu, dv=Δv - приращения независимых переменных, то в (5) du и dv - дифференциалы функций u и v.

2. Второй дифференциал сложной функции двух переменных.

Прежде всего, покажем, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

Пусть z=z(u, v) в случае независимых переменных u и v второй дифференциал находим по формуле (2)

Пусть теперь u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), где независимые переменные x и y. Тогда

Итак, мы получили окончательно:

Формулы (2) и (6) не совпадают по форме, следовательно, второй дифференциал не обладает свойством инвариантности.

Ранее были выведены формулы частных производных 1-го порядка для сложной функции z=f(u, v), где u=u(x y), v=v(x y), где x и y - независимые переменные см .

Выведем формулы для вычисления частных производных и дифференциала второго порядка для функции z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), где x и y - независимые переменные.

Для функций u(x y), v(x y) независимых переменных x, y имеем формулы:

Подставим формулы (8) в (6).

Таким образом, получили формулу для дифференциала второго порядка сложной функции двух переменных.

Сравнивая коэффициенты при для частных производных второго порядка сложной функции двух переменных в (2) и (9), получаем формулы:

Пример 1 см

Пусть z=f(u, v), u=xy, v=. Найти второй дифференциал.

Решение: вычисляем частные производные:

, , , ,

, ,

Каждая частная производная (по x и по y ) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:

(где y = const),

(где x = const).

Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной , считая при этом другую переменную постоянной (константой).

Если Вам не нужен разбор примеров и необходимого для этого минимума теории, а нужно лишь решение Вашей задачи, то переходите к калькулятору частных производных онлайн .

Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число - тогда можно будет быстрее вычислить частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной. Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть на место константу (переменную с фиксированном значением).

Описанное выше свойство частных производных следует из определения частной производной, которое может попасться в экзаменационных вопросах. Поэтому для ознакомления с определением ниже можно открыть теоретическую справку.

Понятие непрерывности функции z = f (x , y ) в точке определяется аналогично этому понятию для функции одной переменной.

Функция z = f (x , y ) называется непрерывной в точке если

Разность (2) называется полным приращением функции z (оно получается в результате приращений обоих аргументов).

Пусть заданы функция z = f (x , y ) и точка

Если изменение функции z происходит при изменении только одного из аргументов, например, x , при фиксированном значении другого аргумента y , то функция получит приращение

называемое частным приращением функции f (x , y ) по x .

Рассматривая изменение функции z в зависимости от изменения только одного из аргументов, мы фактически переходим к функции одной переменной.

Если существует конечный предел

то он называется частной производной функции f (x , y ) по аргументу x и обозначается одним из символов

(4)

Аналогично определяются частное приращение z по y :

и частная производная f (x , y ) по y :

(6)

Пример 1.

Решение. Находим частную производную по переменной "икс":

(y фиксировано);

Находим частную производную по переменной "игрек":

(x фиксировано).

Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована: в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную. Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль.

Пример 2. Дана функция

Найти частные производные

(по иксу) и (по игреку) и вычислить их значения в точке А (1; 2).

Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции (таблица производных функций одной переменной ):

При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции, а второго – как производная постоянной:

Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2):

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение. В один шаг находим

(y x , как если бы аргументом синуса было 5x : точно так же 5 оказывается перед знаком функции);

(x фиксировано и является в данном случае множителем при y ).

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных.

Если каждому набору значений (x ; y ; ...; t ) независимых переменных из множества D соответствует одно определённое значение u из множества E , то u называют функцией переменных x , y , ..., t и обозначают u = f (x , y , ..., t ).

Для функций трёх и более переменных геометрической интерпретации не существует.

Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.

Пример 4. Найти частные производные функции

Решение. y и z фиксированы:

x и z фиксированы:

x и y фиксированы:

Найти частные производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 5.

Пример 6. Найти частные производные функции .

Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной , - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.

Пример 8. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией

где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.

Частная производная функции П по R , равная

показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.

Частная производная П по N , равная

показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Полный дифференциал

Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:

Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством

(7)

Пример 9. Найти полный дифференциал функции

Решение. Результат использования формулы (7):

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение

Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.

Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции.

Теорема. Если функция z = f (x , y ) имеет непрерывные частные производные

в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7).

Можно показать, что подобно тому, как в случае функции одной переменной дифференциал функции является главной линейной частью приращения функции , так и в случае функции нескольких переменных полный дифференциал является главной, линейной относительно приращений независимых переменных частью полного приращения функции.

Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид

(8)

где α и β – бесконечно малые при и .

Частные производные высших порядков

Частные производные и функции f (x , y ) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков.

Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x, y) и ее полное приращение в точке M 0 (x 0 , y 0)

Δ z = f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) - f(x 0 , y 0) .

Определение . Если существуют числа P и Q такие, что полное приращение можно представить в виде

Δ z = PΔ x + QΔ y + ε Δρ ,

где и ε→ 0 при Δρ→ 0 , то выражение PΔ x + QΔ y называется полным дифференциалом функции z=f(x,y) в точке M 0 (x 0 ,y 0) .

В этом случае полное приращение функции состоит из двух частей: первая часть PΔ x + QΔ y является линейной относительно Δ x и Δ y , вторая - бесконечно малой высшего порядка по сравнению с .

Полный дифференциал функции z=f(x,y) обозначается через dz , то есть

dz = PΔ x+QΔ y .

Функция, имеющая полный дифференциал в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема . Если u=f(M) дифференцируема в точке M 0 , то она в ней непрерывна.

Замечание . Из непрерывности функции двух переменных не следует ее дифференцируемость.

Пример . непрерывна в (0,0) , но не имеет частной производной - не существует. Аналогично не существует частной производной по y . Следовательно, функция не дифференцируема.

Теорема [необходимое условие дифференцируемости] . Если z=f(x,y) дифференцируема в точке M 0 , то она имеет в этой точке частные производные по x и y , причем

f′ x (x 0 ,y 0) = P , f′ y (x 0 , y 0) = Q .

Замечание . Из существования частных производных не следует дифференцируемость. Пример:

Имеем , но функция не является непрерывной, следовательно не является дифференцируемой.

Теорема [достаточное условие дифференцируемости] . Если первые частные производные функции z=f(x,y) определены в некоторой окрестности точки M 0 (x 0 ,y 0) и непрерывны в самой точке M 0 , то данная функция имеет полный дифференциал в этой точке.

Замечание . Имеем

Δ z = f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y + ε Δρ ,

где ε→ 0 при Δρ→ 0 . Следовательно,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y .

Эта формула применяется в приближенных вычислениях.

При фиксированных Δ x и Δ y полный дифференциал является функцией переменных x и y :

Положим dx=Δ x , dy=Δ y и назовем эти величины дифференциалами независимых переменных.

Тогда получим формулу

то есть полный дифференциал функции равен сумме произведений первых частных производных на соответствующие дифференциалы аргументов.

Аналогично определяется и выражается полный дифференциал функции трех переменных. Если u=f(x, y, z) и существуют числа P , Q , R такие, что

Δ u = PΔ x+QΔ y+RΔ z+εΔρ, ε→ 0 при δρ→ 0 ,

то полным дифференциалом называется выражение

du = PΔ x+QΔ y+RΔ z .

Если первые частные производные этой функции непрерывны, то

где dx=Δ x , dz=Δ z , dz=Δ z .

Определение . Полным дифференциалом второго порядка некоторой функции называется полный дифференциал от ее полного дифференциала.

Если z=f(x,y) , dz=z′ x dx+z′ y dy , то

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим поверхность S , заданную уравнением

z=f(x, y) .

Пусть f(x, y) имеет частные производные в некоторой области. Рассмотрим M 0 (x 0 , y 0) .

- угловой коэффициент касательной в точке M 0 к сечению поверхности плоскостью y=y 0 , то есть к линии z=f(x,y 0) . Касательная к этой линии имеет вид:

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0), y=y 0 .

Аналогично, сечение плоскостью x=x 0 дает уравнение

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0 .

Плоскость, содержащая обе эти прямые, имеет уравнение

z-z 0 =f′ x (x 0 , y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0)

и называется касательной плоскостью к поверхности S в точке P 0 (x 0 , y 0 , z 0) .

Отметим, что уравнение касательной плоскости можно переписать в виде

z-z 0 =df .

Таким образом, геометрический смысл полного дифференциала: дифференциал в точке M 0 для приращения (x-x 0 , y-y 0) есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке (x 0 , y 0) для тех же приращений.

Касательная плоскость имеет вектор нормали в точке (x 0 , y 0 , z 0) - \vec{n}=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1) . Прямая, проходящая через точку P 0 и имеющая направляющий вектор \vec{n} , называется нормалью к поверхности z=f(x,y) в данной точке. Ее уравнения: