Приведение под знак дифференциала. Дифференциальные уравнения первого порядка

При решении некоторых типов интегралов выполняется преобразование, как говорят внесение под знак дифференциала . Это делается, чтобы получить интеграл табличного вида и легко его взять. Для этого применяется формула: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Хочется отметить такой важный нюанс, над которым задумываются студенты. Чем же отличается этот метод от способа замены переменной (подстановки)? Это то же самое, только в записях выглядит по-разному. И то и другое верно.

Формула

Если в подынтегральной функции прослеживается произведение двух функций, одна из которых является дифференциалом другой, тогда внесите под знак дифференциала нужную функцию. Выглядит это следующим образом:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

Подведение основных функций

Для того, чтобы успешно использовать такой способ решения, необходимо знать таблицы производных и интегрирования. Из них вытекают следующие формулы:

$ dx = d(x+c), c=const $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac{1}{a} d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac{1}{2} d(x^2+a) $	$ \frac{dx}{x} = d(\ln x) $
$ -\frac{dx}{x^2}= d(\frac{1}{x}) $	$ \frac{dx}{\cos^2 x} = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac{1}{k} \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac{1}{k} F(kx+b) + C $$

Примеры решений

Пример 1

Найти интеграл $$ \int \sin x \cos x dx $$

Решение

В данном примере можно занести под знак дифференциала любую из предложенных функций, хоть синус, хоть косинус. Для того, чтобы не путаться со сменой знаков удобнее занести $ \соs x $. Используя формулы имеем: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \sin^2 x + C $$

Итак, в статье разобрали как решаются некоторые виды интегралов методом занесения под знак дифференциала. Вспомнили дифференциалы часто распространенных элементарных функций. Если не получается или не хватает времени решить задачи контрольных работ самостоятельно, то мы окажем Вам свою помощь в кратчайшие сроки. Достаточно заполнить форму заказа и мы свяжемся с Вами.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором свзяны между собой переменные, постоянные коэффициенты, искомая функция и производные от функции любого порядка. При этом максимальный порядок производной функции, который присутствует в уравнении, определяет порядок всего дифференциального уравнения. Решить диф уравнение - это определить искомую функцию, как зависимость от переменной.

Современные компьютеры позволяют решать сложнейшие диф уравнения численно. Нахождение же аналитического решения является сложной задачей. Существует множество типов уравнений и для каждого теория предлагает свои методы решения. На сайте сайт диф уравнения можно вычислять в режиме онлайн, причём практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям. Мы предлагаем для решения заполнить два поля: само собственно уравнение и при необходимости - начальные условия (задачу Коши) - то есть информацию о граничных условиях искомой функции. Ведь как известно, диф уравнения имеют бесконечное количество решений, поскольку в ответе присутствуют константы, которые могут принимать произвольное значение. Задав задачу Коши, мы из всего множества решений выбираем частные.

Пусть требуется найти интеграл

где подынтегральные функции непрерывны. Применив подстановку
, получим

Полученная формула лежит в основе метода подведения под знак дифференциала. Покажем этот метод на примерах вычисления интегралов.

Например.

Найти интегралы:

1.

Обозначим
, тогда

Следовательно

2.

Обозначим
, тогдаИнтеграл примет вид

Преобразования подынтегральных выражений, проведенные в выше указанных интегралах, называются подведением под знак дифференциала.

Итак: Если подынтегральную функцию можно представить в виде произведения некоторой функции и производной от этой функции, либо от промежуточного аргумента этой функции, то, подведя под знак дифференциала производную, вычисление интеграла производится непосредственно.

Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям имеет вид

Справедливость формулы вытекает из того факта, что

Интегрируя обе части получаем

Откуда

Формула интегрирования по частям сводит вычисление интеграла
к вычислению интеграла
. Метод интегрирования по частям применяют тогда, когда подынтегральное выражение представляет произведение двух дифференцируемых функций, при этом производная от одной из функций, проще по отношению к самой заданной функции.

Например:

1.

Полагаем
и

Тогда
и

следовательно

2.

Полагаем
и

тогда
и

следовательно

3.

Применим формулу интегрирования по частям дважды

Сначала положим
и

тогда
и

подставив полученные выражения будем иметь

Далее полагаем
и

тогда
и

4.

полагаем
и

тогда
и

Следовательно

Для интеграла, стоящего в правой части снова применим формулу интегрирования по частям

Полагаем
и

тогда
и

Подставляя найденные значения в формулу, будем иметь

Таким образом получим алгебраическое уравнение относительно исходного интеграла

Откуда

Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы вида

Для вычисления интегралов, содержащих квадратный трехчлен, поступают следующим образом:

1.Выделяют полный квадрат из трехчлена, стоящего в знаменателе 2. Обозначают

3.Вычисляют интегралы с помощью одной из формул (12)-(16) непосредственно по таблице интегралов

Например:

Рассмотрим интегралы вида

Для вычисления интегралов, содержащих в знаменателе квадратный трехчлен, а в числителе двучлен первой степени применяют следующие преобразования:

1. В числителе из двучлена выделяют производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе

Полученный таким образом интеграл представляют в виде суммы двух интегралов, первый из которых вычисляют методом подведения под знак дифференциала; второй – способом, указанным в начале этого параграфа

Например:

Интегрирование рациональных функций

Из высшей алгебры известно, что всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, то есть отношения двух многочленов

правильной , если степень многочлена стоящего в числителе меньше степени многочлена, стоящего в знамена-теле

Рациональная дробь называется неправильной , если степень многочлена, стоящего в числителе больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе

Если дробь неправильная, то разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Здесь
- многочлен,правильная дробь

Так как интегрирование многочленов проводится непосредственно и не вызывает затруднений, то в дальнейшем все наши рассуждения относительно интегрирования рациональных функций будут относится к правильным рациональным дробям.

Правильные дроби вида:

Называются простейшими дробями.

Интегрирование простейших дробей I,II,IIIтипов нами уже было рассмотрено ранее.

Теорема

Если знаменатель правильной рациональной дроби разложен на множители:

то дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей

Для определения коэффициентов
применяют метод неопределенных коэффициентов. Сущность метода состоит в следующем:

В правой части разложения рациональной дроби простейшие дроби приводим к общему знаменателю, которым является многочлен
, после чего знаменатель
в левой и правой частях равенства отбрасываем. Получаем тождество, в левой части которого стоит многочлен
, а в правой многочлен содержащий неопределенные коэффициенты
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях, стоящих в левой и правой частях тождества, получаем систему уравнений относительно искомых коэффициентов
.

Например:

Найти интеграл

Подынтегральная функция в данном случае представляет собой неправильную дробь. Поэтому сначала представим её в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого поделим многочлен
на многочлен:

Приводим дроби к общему знаменателю и, отбросив его, получаем

Откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему

Отсюда A = -1, B =1

Окончательно имеем

Следовательно

Напишем разложение подынтегральной дроби на сумму простейших дробей:

Приводим дроби к общему знаменателю и отбросив его, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему

Отсюда A=0, B=1, C=1, D=1

Тогда интеграл принимает вид