Вероятность события. Определение вероятности события Вероятность события равна единице

Объединением (логической суммой) N событий называют событие, которое наблюдается каждый раз, когда на­ступаетхотя бы одно из событий. В частности, объединением событий A и B называют событие A + B (у некоторых авторов
), которое наблюдается, когданаступает или A, или B или оба этих события одновременно (Рис. 7). Признаком пересечения в тексто­вых формулировках событий служит союз“или” .

Рис. 7. Объединение событий A+B

Необходимо учитывать, что вероятности события P{A} соответствует как левая часть заштрихованной на Рис. 7 фигуры, так и её центральная часть, помеченная как
. И исходы, соответствующие событию B, располагаются как в правой части заштрихованной фигуры, так и в помеченной
центральной части. Таким образом, при сложениииплощадка
реально войдет в эту сумму дважды, а точное выражение для площади заштрихованнойфигуры имеет вид
.

Итак, вероятность объединения двух событий A и B равна

Для большего числа событий общее расчетное выражение становится крайне громоздким из-за необходимости учета многочисленных вариантов взаимного наложения областей. Однако, если объединяемые события являются несовместными (см. с. 33), то взаимное наложение областей оказывается невозможным, а благоприятная зона определяется непосредственно суммой областей, соответствующих отдельным событиям.

Вероятность объединения произвольного числанесов­местных событийопределяется выражением

Следствие 1 : Полная группа событий состоит из событий несовместных, одно из которых в опыте обязательно реализуется. В результате,если события …
,образуют полную группу , то для них

Таким образом,

С ледствие 3 Учтем, что противоположным утверждению «произойдет хотя бы одно из событий …
» является утверждение «ни одно из событий…
не реализуется». Т.е., иначе говоря, «в опыте будут наблюдаться события, и, и …, и», что представляет собой уже пересечение событий, противоположных исходному набору. Отсюда, с учетом (2 .0), для объединения произвольного числа событий получаем

Следствия 2, 3 показывают, что в тех случаях, когда непосредственный расчет вероятности какого-то события является проблематичным, полезно оценить трудоёмкость исследования события ему противоположного. Ведь, зная значение
, получить из (2 .0) нужную величину
никакого труда уже не представляет.

1. Примеры расчетов вероятностей сложных событий

Пример 1 : Двое студентов (Иванов и Петров) вместе я вились на защиту лабораторной работы, выучив первые 8 кон трольных вопросов к этой работе из 10 имеющихся. Проверяя подготовленность, п реподаватель задает каждому лишь оди н случайно выбираемый вопрос. Определить вероятность следующих событий:

A = “Иванов защитит лабораторную работу”;

B = “Петров защитит лабораторную работу”;

C = “оба защитят лабораторную работу”;

D = “хотя бы один из студентов защитит работу”;

E = “только один из студентов защитит работу”;

F = “никто из них не защитит работу”.

Решение. Отметим, что способность защитить работу как Иванова, т ак и Петрова в отдельности определяется лишь числом освоенных вопросов, поэтом у . (Примечание: в данном примере значения получаемых дробей сознательно не сокращались для упрощения сопоставления результатов расчетов.)

Событие C можно сформулировать иначе как «работу защитит и Иванов, и Петров», т.е. произойдут и событие A , и событие B . Таким образом, событие C является пересечением событий A и B , и в соответствии с (2 .0)

где сомножитель “7/9” появляется из-за того, что наступление события A означает, что Иванову достался «удачный» вопрос, а значит на долю Петрова из оставшихся 9 вопросов приходится теперь лишь 7 «хороших» вопросов.

Событие D подразумевает, что «работу защитит или Иванов, или Петров, или они оба вместе», т.е. произойдёт хотя бы одно из событий A и B . Итак, событие D является объединением событий A и B , и в соответствии с (2 .0)

что соответствует ожиданиям, т.к. даже для каждого из студентов в отдельности шансы на успех довольно велики.

С обытие Е означает, что «либо работу защитит Ивано в, а Петров «п ровалится», или Иванову попадется неудачный во прос, а Петров с защитой справится». Два альтернативных варианта являются взаимоисключающими (несовместными), поэтому

Наконец, утверждение F окажется справедливым лишь если « и Иванов, и Петров с защитой не справятся». Итак,

На этом решение задачи завершено, однако полезно отметить следующие моменты:

1. Каждая из полученных вероятностей удовлетворяет условию (1 .0), н о если для
и
получить конфликт ующие с (1 .0) в принципе невозможно, то для
попытка и спользования (2 .0) вместо (2 .0) привела бы к явно некорр ектному значению
. Важно помнить, что подобное значение вероятности принципиально невозможно, и при получении столь парадоксального результата незамедлительно приступать к поиску ошибки.

2. Найденные вероятности удовлетворяют соотношения м

.

Э то вполне ожидаемо, т.к. события C , E и F образуют полн ую группу, а события D и F противоположны друг другу. Учет этих соотношений с одной стороны может быть использо ван для перепроверки расчетов, а в другой ситуации может послужить основой альтернативного способа решения задачи.

П римечание : Не пренебрегайте письменной фиксацией точной формулировки события, иначе по ходу решения задачи Вы можете непроизвольно перейти к иной трактовке смысла этого события, что повлечет ошибки в рассуждениях.

Пример 2 : В крупной партии микросхем, не прошедших выходной контроль качества, 30% изделий являются бракованными. Если из этой партии наугад выбрать какие-либо две микросхемы, то какова вероятность, что среди них:

A = “обе годные”;

B = “ровно 1 годная микросхема”;

C = “обе бракованные”.

Проанализируем следующий вариант рассуждений (осторожно, содержит ошибку):

Так как речь идет о крупной партии изделий, то изъятие из неё нескольких микросхем практически не влияет на соотношение числа годных и бракованных изделий, а значит, выбирая несколько раз подряд какие-то микросхемы из этой партии, можно считать, что в каждом из случаев остаются неизменными вероятности

= P { выбрано бракованное изделие } = 0,3 и

= P { выбрано годное изделие } = 0,7.

Для наступления события A необходимо, чтобы и в первый, и во второй раз было выбрано годное изделии, а потому (учитывая независимость друг от друга успешности выбора первой и второй микросхемы) для пересечения событий имеем

Аналогично, для наступления события С нужно, чтобы оба изделия оказались бракованными , а для получения B нужно один раз выбрать годное, а один – бракованное изделие.

Признак ошибки. Х отя все полученные выше вероятност и выглядят правдоподобными, при их совместном анализе легко з аметить, что .Однако случаи A , B и C образуют полную группу событий, для которой должно выполняться .Это противоречие указывает на наличие какой-то ошибки в рассуждениях.

С уть ошибки. Введем в рассмотрение два вспомогате льных события :

= “первая микросхема – годная, вторая - бракованная”;

= “первая микросхема – бракованная, вторая – годная”.

Очевидно, что , однако именно такой вариант расчета был выше использован для получения вероятности события B , хотя события B и не являются э квивалентными . На самом деле,
, т.к. формулировка события B требует, чтобы среди микросхем ровно одна , но совсем не обязательно первая была годной (а другая – бракованной). Поэтому, хотя событие не является дублем события, а должно учиты ваться независимо. Учитывая несовместность событий и, вероятность их логической суммы будет равна

После указанного исправления расчетов имеем

что косвенно подтверждает корректность найденных вероятностей.

Примечание : Обращайте особое внимание на отличие в формулировках событий типа “только первый из перечисленных элементов должен…” и “только один из перечисленных элем ентов должен…”. Последнее событие явно шире и включае т в свой состав первое как один из (возможно многочисленны х) вариантов. Эти альтернативные варианты (даже при совпадении их вероятностей) следует учитывать независимо друг от друга.

П римечание : Слово “процент” произошло от “ per cent ”, т.е. “на сотню”. Представление частот и вероятностей в процентах позволяет оперировать более крупными значениями, что иногда упрощает восприятие значений “на слух”. Однако использовать в расчетах для правильной нормировки умножение или деление на “100 %” громоздко и неэффективно. В связи с этим, не з абывайте при использовании значений, упомя нутых в процентах, подставлять их в расчетные выражения у же в виде долей от единицы (например, 35% в расчете записываетс я как “0,35”), чтобы минимизировать риск ошибочной нормировки результатов.

Пример 3 : Набор резисторов содержит один резистор н оминалом 4 кОм, три резистора по 8 кОм и шесть резист оров с сопротивлением 15 кОм. Выбранные наугад три резистора соединяются друг с другом параллельно. Определить вероятность получения итогового сопротивления, не превышающего 4 кОм.

Реш ение. Сопротивление параллельного соединения рез исторов может быть рассчитано по формуле

.

Это позволяет ввести в рассмотрение события, такие как

A = “выбраны три резистора по 15 кОм” = “
”;

B = “в зяты два резистора по 15 кОм и один с сопротивление м 8 кОм” =“
”…

Полная группа событий, соответствующих условию задачи, включает ещё целый ряд вариантов, причем именно таких, к оторые соответствуют выдвинутому требованию о получении сопротивления не более чем 4 кОм. Однако, хотя “прямой” путь решения, предполагающий расчет (и последующее сумми рование) вероятностей, характеризующих все эти события, и является правильным, действовать таким образом нецелесообразно.

Отметим, что для получения итогового сопротивления менее 4 кОм д остаточно, чтобы в используемый набор вошел хотя бы один резистор с сопротивлени ем менее 15 кОм. Таким образом, лишь в случае A требование задачи не выполняется, т.е. событие A является противоположным исследуемому. Вместе с тем,

.

Таким образом, .

П ри мечание : Рассчитывая вероятность некоторого события A , не забывайте проанализировать трудоемкость определени я ве­роятности события ему противоположного. Если расс читать
легко, то именно с этого и надо начинать решен ие задачи , завершая его применением соотношения (2 .0).

П ример 4 : В коробке имеются n белых, m черных и k красных шаров. Шары по одному наугад извлекаются из коробки и возвращаются обратно после каждого извлечения. Определить вероятность события A = “белый шар будет извлечен раньше, чем черный ” .

Реш ение. Рассмотрим следующую совокупность событий

= “белый шар извлекли при первой же попытке”;

= “сначала вынули красный шар, а затем - белый”;

= “дважды вынули красный шар, а на третий раз - белый ”…

Так к ак шарики возвращаются, то последовательность соб ытий может быть формально бесконечно протяженной.

Эти события являются несовместными и составляют в совокупности тот набор ситуаций, при которых происходит событие A . Таким образом,

Несложно заметить, что входящие в сумму слагаемые образуют геометрическую прогрессию с начальным элементом
и знаменателем
. Но сумм а элементов бесконечной геометрической прогрессии равна

.

Таким образом, . Л юбопытно, что эта вероятность (как следует из полученно го выражения) не зависит от числа красных шаров в коробке.

1. Изложение основных теорем и формул вероятностей: теорема сложения, условная вероятность, теорема умножения, независимость событий, формула полной вероятности.

Цели: создание благоприятных условий для введения понятия вероятности события; знакомство с основными теоремами и формулами теории вероятностей; ввести формулу полной вероятности.

Ход занятия:

Случайным экспериментом (опытом) называют процесс, при котором возможны различные исходы, причем заранее нельзя предсказать, каков будет результат. Возможные исключающие друг друга исходы опыта называются его элементарными событиями . Множество элементарных событий обозначим через W.

Случайным событием называется событие, о котором нельзя заранее сказать, произойдет оно в результате опыта или нет. Каждому случайному событию А, происшедшему в результате опыта, можно поставить в соответствие группу элементарных событий из W. Элементарные события, входящие в состав этой группы, называют благоприятствующими появлению события А.

Множество W также можно рассматривать как случайное событие. Поскольку оно включает все элементарные события, то обязательно произойдет в результате опыта. Такое событие называют достоверным .

Если для данного события нет благоприятствующих элементарных событий из W, то и результате опыта оно произойти не может. Такое событие называют невозможным.

События называют равновозможными , если в результате испытания обеспечиваются равные возможности осуществления этих событий. Два случайных события называются противоположными , если в результате проведения опыта одно из них происходит тогда и только тогда, когда не происходит другое. Событие, противоположное событию А, обозначают .

События А и В называют несовместными , если появление одного из них исключает появление другого. События А 1 , А 2 , ..., А n называют попарно несовместными, если любые два из них несовместны. События А 1 , А 2 , ..., Аn образуют полную систему попарно несовместных событий , если в результате испытания обязательно произойдет одно и только одно из них.

Суммой (объединением) событий А 1 , А 2 , ..., А n называется такое событие С, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий А 1 , А 2 , ..., А n Сумма событий обозначается следующим образом:

C = A 1 +A 2 +…+A n .

Произведением (пересечением) событий А 1 , А 2 , ..., А n называется такое событие П, которое состоит в том, что одновременно произошли все события А 1 , А 2 , ..., А n . Произведение событий обозначается

Вероятность Р(А) в теории вероятностей выступает как числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного случайного события А при многократном повторении испытаний.

Допустим, при 1000 бросаний игральной кости цифра 4 выпадает 160 раз. Отношение 160/1000 = 0,16 показывает относительную частоту выпадений цифры 4 в данной серии испытаний. В более общем случае частотой случайного события А при проведении серии опытов называют отношение числа опытов, в которых произошло данное событие, к общему числу опытов:

где Р*(А) - частота события А; m - число опытов, в которых произошло событие А; n - общее число опытов.

Вероятностью случайного события А называют постоянное число, около которого группируются частоты данного события по мере увеличения количества опытов (статистическое определение вероятности события ). Вероятность случайного события обозначают Р(А).

Естественно, что никто и никогда не сможет проделать неограниченное число испытаний для того, чтобы определить вероятность. В этом нет и необходимости. Практически за вероятность можно принять частоту события при большом числе испытаний. Так, например, из статистических закономерностей рождения, установленных за много лет наблюдений, вероятность того события, что новорожденный будет мальчиком, оценивается в 0,515.

Если при испытании нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайное событие появилось бы чаще других (равновозможные события ), можно определить вероятность исходя из теоретических соображений. Например, выясним в случае бросания монеты частоту выпадения герба (событие А). разными экспериментаторами при нескольких тысячах испытаний было показано, что относительная частота такого события принимает значения, близкие к 0,5. учитывая, что появление герба и противоположной стороны монеты (событие В) являются событиями равновозможными, если монета симметрична, суждение Р(А)=Р(В)=0,5 можно было бы сделать и без определения частоты этих событий. На основе понятия «равновозможности» событий формулируется другое определение вероятности.

Пусть рассматриваемое событие А происходит в m случаях, которые называются благоприятствующими А, и не происходит при остальных n-m, неблагоприятствующих А.

Тогда вероятность события А равна отношению количества благоприятствующих ему элементарных событий к их общему числу (классическое определение вероятности события ):

где m - количество элементарных событий, благоприятствующих событию А; n - Общее количество элементарных событий.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример №1: В урне находится 40 шаров: 10 черных и 30 белых. Найти вероятность того, что наугад выбранный шар будет черным.

Число благоприятствующих случаев равно числу черных шаров в урне: m = 10. общее число равновозможных событий (вынимание одного шара) равна полному числу шаров в урне: n = 40. Эти события несовместны, так как вынимается один и только один шар. Р(А) = 10/40 = 0,25

Пример №2: найти вероятность выпадения четного числа при бросании игральной кости.

При бросании кости реализуется шесть равновозможных несовместных событий: появление одной цифры:1,2,3,4,5 или 6, т.е. n = 6. благоприятствующими случаями являются выпадение одной из цифр 2,4 или 6: m = 3. искомая вероятность Р(А) = m/N = 3/6 = ½.

Как видим из определения вероятности события, для всех событий

0 < Р(А) < 1.

Очевидно, что вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0.

Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Для двух несовместных событий А и В вероятностей этих событий равна сумме их вероятностей:

Р(А или В)=Р(А) + Р(В).

Пример №3: найти вероятность выпадения 1 ил 6 при бросании игральной кости.

Событие А (выпадение 1) и В(выпадение 6) являются равновозможными: Р(А) = Р(В) = 1/6, поэтому Р(А или В) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Сложение вероятностей справедливо не только для двух, но и для любого числа несовместных событий.

Пример №4: в урне находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 синих. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны.

Вероятность вынимания белого шара (событие А) равна Р(А) = 10/50 = 1/5, черного шара (событие В) равна Р(В) = 20/50 = 2/5 и красного шара (событие С) равно Р(С) = 5/50 = 1/10. Отсюда по формуле сложения вероятностей получим Р(А или В или С) = Р(А) +Р(В) =Р(С) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/10

Сумма вероятностей двух противоположных событий, как следует из теоремы сложения вероятностей, равна единице:

Р(А) + Р() = 1

В выше рассмотренном примере вынимание белого, черного и красного шара будет событием А 1 , Р(А 1) = 7/10. Противоположным событием 1 является доставание синего шара. Так как синих шаров 15, а общее количество шаров 50, то получаем Р( 1) = 15/50 = 3/10 и Р(А) + Р() = 7/10 +3/10 = 1.

Если события А 1 , А 2 , ..., А n образуют полную систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

В общем случае вероятность суммы двух событий А и В вычисляется как

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р (АВ).

Теорема умножения вероятностей:

События А и В называются независимыми , если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет, и наоборот, вероятность появления события В не зависит от того, произошло событие А или нет.

Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей . Для двух событий Р(А и В)=Р(А)·Р(В).

Пример: В одной урне 5 черных и 10 белых шаров, в другой 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся черными.

Решение: вероятность вытаскивания черного шара из первой урны (событие А) – Р(А) = 5/15 = 1/3, черного шара из второй урны (событие В) – Р(В) = 3/20

Р(А и В)=Р(А)·Р(В) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

На практике нередко вероятность события В зависит оттого, произошло некоторое другое событие А или нет. В этом случае говорят об условной вероятности , т.е. вероятности события В при условии, что событие А произошло. Условную вероятность обозначают P(B/A).

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями пони-маются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.

Например, при бросании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадет. Результат бросания монеты случаен. Но при дос-таточно большом числе бросаний монеты существует определенная закономерность (герб и решетка выпадут примерно одинаковое число раз).

Основные понятия теории вероятностей

Испытание (опыт, эксперимент) - осуществление некоторого определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Например: подбрасывание игральной кости с выпадением числа очков; перепад температуры воздуха; метод лечения заболевания; некоторый период жизни человека.

Случайное событие (или просто событие) – исход испытания.

Примеры случайных событий:

выпадение одного очка при подбрасывании игральной кости;

обострение ишемической болезни сердца при резком повышении температуры воздуха летом;

развитие осложнений заболевания при неправильном выборе метода лечения;

поступление в вуз при успешной учебе в школе.

События обозначают прописными буквами латинского алфа-вита: A , B , C , …

Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным , если в результате испы-тания оно вообще не может произойти.

Например,если в партии все изделия стандартные, то извлечение из неё стандартного изделия - событие достоверное, а извлечение при тех же условиях бракованного изделия – событие невозможное.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей.

Классической вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятствующих событию , к общему числу случаев, т.е.

, (5.1)

где
- вероятность события ,

- число случаев, благоприятствующих событию ,

- общее число случаев.

Свойства вероятности события

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

Вероятность достоверного события равна единице, т.е.

.

Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

.

(Предложить решить несколько простых задач устно).

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

На практике часто при оценке вероятностей событий основываются на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события называется предел относительной частоты (отношение числа случаев m , благоприятствующих появлению события , к общему числу произведенных испытаний), когда число испытаний стремится к бесконечности, т.е.

где
- статистическая вероятность события ,
- число испытаний, в которых появилось событие , - общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности, статистическая вероятность является характеристикой опытной. Классическая вероятность служит для теоретического вычисления вероятности события по заданным условиям и не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Формула статистической вероятности служит для экспериментального определения вероятности события, т.е. предполагается, что испытания были проведены фактически.

Статистическая вероятность приблизительно равна относительной частоте случайного события, поэтому на практике за статистическую вероятность берут относительную частоту, т.к. статистическую вероятность практически найти нельзя.

Статистическое определение вероятности применимо к случайным событиям, которые обладают следующими свойствами:

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия

а) Единственно возможные события

События
называют единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наверняка наступит.

Эти события образуют полную группу событий.

Например, при подбрасывании игрального кубика, единственно возможными являются события выпадения граней с одним, двумя, тремя, четырьмя, пятью и шестью очками. Они образуют полную группу событий.

б) События называют несовместными , если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае их называют совместными.

в) Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Обозначают и .

г ) События называют независимыми , если вероятность наступления одного из них не зависит от совершения или несовершения других.

Действия над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если и – совместные события, то их сумма
или
обозначает наступление или события A, или события B, или обоих событий вместе.

Если и – несовместные события, то их сумма
означает наступление или события , или события .

Сумму событий обозначают:

Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Произведение двух событий обозначают
или
.

Произведение событий обозначают

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Для двух событий;

- для событий.

Следствия:

а) Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице:

Вероятность противоположного события обозначают :
.

б) Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна единице: или
.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятностей их пересечения, т.е.

Теорема умножения вероятностей

а) Для двух независимых событий:

б) Для двух зависимых событий

где
– условная вероятность события , т.е. вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло.

в) Для независимых событий:

.

г) Вероятность наступления хотя бы одного из событий ,образующих полную группу независимых событий:

Условная вероятность

Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается
или
.

При вычислении условной вероятности по формуле клас-сической вероятности число исходов и
подсчитывается с учетом того, что до совершения события произошло событие .

Различные определения вероятности случайного события

Теория вероятностей – математическая наука, которая по вероятностям одних событий позволяет оценивать вероятности других событий, связанных с первыми.

Подтверждением того, что понятие «вероятность события» не имеет определения, является тот факт, что в теории вероятностей существует несколько подходов к объяснению этого понятия:

Классическое определение вероятности случайного события.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта.

Где

Число благоприятных исходов опыта;

Общее числоисходов опыта.

Исход опыта называется благоприятным для события , если при этом исходе опыта появилось событие . Например, если событие - появление карты красной масти, то появление туза бубей – исход, благоприятный событию .

Примеры.

1) Вероятность выпадения 5 очков на грани кубика равна , поскольку кубик может упасть любой из 6 граней кверху, а 5 очков находятся только на одной грани.

2) Вероятность выпадения герба при однократном бросании монеты - , поскольку монета может упасть гербом или решкой – два исхода опыта, а герб изображен лишь на одной стороне монеты.

3) Если в урне 12 шаров, из которых 5 – черные, то вероятность вынуть черный шар - , поскольку всего исходов опята – 12, а благоприятных из них - 5

Замечание. Классическое определение вероятности применимо при двух условиях:

1) все исходы опыта должны быть равновероятными;

2) опыт должен иметь конечное число исходов.

На практике бывает сложно доказать, что события равновероятные: например,при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д., кроме того, существуют опыты с бесконечным числом исходов.

Пример . Ребенок бросает мяч, и максимальное расстояние, на которое он может забросить мяч – 15 метров. Найти вероятность того, что мяч улетит за отметку 3 м.

Решение. Искомую вероятность предлагается считать, как отношение длины отрезка, находящегося за отметкой 3 м (благоприятная область) к длине всего отрезка (всевозможные исходы):

Пример. Точку случайным образом бросают в круг радиуса 1. Какова вероятность того, что точка попадет во вписанный в круг квадрат?

Решение. Под вероятностью того, что точка попадет в квадрат, понимают в данном случае отношение площади квадрата (благоприятной площади)к площади круга (общая площадь фигуры, куда бросают точку):

Диагональ квадрата равна 2 и выражается через его сторону по теореме Пифагора:

Аналогичные рассуждения проводят и в пространстве: если в теле объема случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части тела объема , вычисляется как отношение объема благоприятной части к общему объему тела:

Объединяя все случаи, можно сформулировать правило вычисления геометрической вероятности:

Если в некоторой области случайным образом выбирается точка, то вероятность того, что точка окажется в части этой области равна:

, где

Обозначает меру области: в случае отрезка – это длина, в случае плоской области – это площадь, в случае пространственного тела – это объем, на поверхности – площадь поверхности, на кривой – длина кривой.

Интересным приложением понятия геометрической вероятности является задача о встрече.

Задача. (О встрече)

Два студента договорились о встрече, например, в10 часов утра на следующих условиях: каждый приходит в любое время в течение часа с 10 до 11 и ждет 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи?

Решение. Проиллюстрируем условия задачи следующим образом: на оси отложим время, идущее для первого из встречающихся, а на оси - время, идущее для второго. Поскольку эксперимент длится один час, то по обеим осям отложим отрезки длины 1. Моменты времени, когда встречающиеся пришли одновременно, интерпретируется диагональю квадрата.

Пусть первый пришел в некоторый момент времени . Студенты встретятся, если время прибытия второго на место встречи заключается в промежутке

Рассуждая так для любого момента времени , получим, что область времени, интерпретирующая возможность встречи («пересечение времён»нахождения на нужном месте первого и второго студентов) находится между двумя прямыми: и . Вероятность встречи определяется по формуле геометрической вероятности:

В 1933 г. Колмогоров А.М. (1903 - 1987) предложил аксиоматический подход к построению и изложению теории вероятности, который стал общепринятымв настоящее время. При построении теории вероятности как формальной аксиоматической теории требуется не только ввести базовое понятие – вероятность случайного события, но и описать его свойства с помощью аксиом (утверждений интуитивно верных, принимаемых без доказательства).

Такими утверждениями являются утверждения, аналогичные свойствам относительной частоты появления события.

Относительной частотой появления случайного события называется отношение числа появлений события в испытаниях к общему числу проведенных испытаний:

Очевидно, , для достоверного события , для невозможного события , для несовместных событий и верно следующее:

Пример. Проиллюстрируем последнее утверждение. Пусть из колоды в 36 карт вынимают карты. Пусть событие означает появление бубей , событие означает появление червей, а событие - появление карты красной масти. Очевидно, события и несовместны. При появлении красной масти ставим метку возле события , при появлении бубей – возле события , а при появлении червей – возле события . Очевидно, что метка возле события будет поставлена тогда и только тогда, когда будет поставлена метка возле события или возле события , т.е. .

Назовем вероятностью случайного события число, сопоставленное событию по следующему правилу:

Для несовместных событий и

Итак,

Относительная частота