Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямых Проекции плоских углов

Если две прямые лежат на плоскости, то возможны три различных случая взаимного расположения их: 1) прямые пересекаются (т. е. имеют одну общую точку), 2) прямые параллельны и не совпадают, 3) прямые совпадают.

Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если прямые заданы своими уравнениями

Если прямые пересекаются, т. е. имеют одну общую точку, то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям (15). Следовательно, для нахождения координат точки пересечения прямых нужно решить совместно их уравнения. С этой целью исключим сначала неизвестное х, для чего умножим первое уравнение на , а второе на А, и вычтем первое из второго. Будем иметь:

Чтобы исключить из уравнений (15) неизвестное у, умножим первое из них на а второе на и вычтем второе из первого. Получим:

Если то из уравнений (15) и (15") получим решение системы (15):

Формулы (16) дают координаты х, у точки пересечения двух прямых.

Таким образом, если то прямые пересекаются. Если то формулы (16) не имеют смысла. Как в этом случае располагаются прямые? Легко видеть, что в этом случае прямые параллельны. Действительно, из условия следует, что (если же , то прямые параллельны оси Оу и, следовательно, параллельны между собой).

Итак, если то прямые параллельны. Рассматриваемое условие можно записать в виде можно сказать, что если в уравнениях прямых соответствующие коэффициенты при текущих координатах пропорциональны, то прямые параллельны.

В частности, параллельные прямые могут совпадать. Выясним, каков аналитический признак совпадения прямых. Для этого рассмотрим уравнения (15) и ). Если свободные члены этих уравнений будут оба равны нулю, т. е.

т. е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений (15) пропорциональны. В таком случае одно из уравнений системы получается из другого умножением всех его членов на некоторый общий множитель, т. е. уравнения (15) равносильны. Следовательно, рассматриваемые параллельные прямые совпадают.

Если же хотя бы один из свободных членов уравнений (15) и ) будет отличен от нуля (или или

то уравнения (15) и (15"), а значит и уравнения (15), не будут иметь решений (по крайней мере одно из равенств (15) или (15") будет невозможным). В этом случае параллельные прямые не будут совпадать.

Итак, условием (необходимым и достаточным) совпадения двух прямых является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений:

Пример 1. Найти точку пересечения прямых линий

Решая уравнения совместно, умножим второе на 3.

Прямые линии и организация пространства

Прямые линии – простой, но очень
выразительный элемент:
-линия делит плоскость на
отдельные
части;
-линия помогает объединить
композицию
в единое целое;
-линия, в большей мере, чем
прямоугольник
влияет на ритмическое построение
композиции.

Фронтальная и глубинные композиции из линий
и прямоугольников

даже самыми простыми средствами
можно достичь эмоциональной
образности

Линия - это не «похудевший
прямоугольник», а самостоятельный
изобразительный элемент Линия придает
выразительность всей композиции. В
работах, где линия навылет (от края до края
листа), она как бы выносит
изобразительное действие за рамки и
делает композицию открытой, разомкнутой
и более интересной.
Тонкие, длинные и
ровные линии режутся
по линейке

Работая
над
своими
композициями,
добивайтесь различия в крупности планов,
потому что это создает изобразительное
многоголосие, интонационное богатство и,
соответственно, большую выразительность
композиции.

ЗАДАНИЯ
Прямые линии - элемент организации плоскостной
композиции.
1. Расположением и взаимным пересечением 3-4 прямых линий
разной толщины добейтесь гармоничного членения
пространства (используйте линии навылет).
2. Создайте композицию из 2-3 прямоугольников и 3-4 прямых
линий, которые своим расположением связывают элементы в
единое композиционное целое. Создайте: а) фронтальную
композицию; б) глубинную композицию.
3. Из произвольного количества элементов сделайте интересную
композицию.
Ритмически расположив элементы на плоскости, добейтесь
эмоционально-образного впечатления (например, «полета», сужения», «замедления» и т.д.).
Задания можно выполнить на компьютере.

Если провести через данные параллельные прямые АВ и С D плоскости, перпендикулярные горизонтальной плоскости проекций, то эти две плоскости будут параллельны, и в их пересечении с плоскостью H будут получены две взаимно параллельные прямые A "B " и C "D ", являющиеся ортогональными проекциями данных прямых АВ и CD на горизонтальную плоскость проекций (рис. 25).

Аналогичным образом можно получить и ортогональные проекции данных прямых на фронтальную плоскость V.

На комплексном чертеже одноименные проекции параллельных прямых параллельны: A "B "C "D " и A ""B ""C ""D "" (рис. 25).

Пересекающиеся прямые

Взаимно пересекающиеся прямые имеют общую точку, например, отрезки прямых АВ и CD пересекаются в точке К . Проекции пересекающихся прямых пересекаются, и точки их пересечения (K " и K "") лежат на одной линии связи - перпендикуляре к оси x (рис. 26).

Скрещивающиеся прямые

Это прямые, которые не параллельны и не пересекаются. На комплексном чертеже проекции скрещивающихся прямых (прямые АВ и CD ) могут пересекаться, но точки пересечения (1 ,2 и 3 ,4 ) лежат на разных линиях связи (рис. 27). Точкам пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых соответствуют в пространстве две точки: в одном случае -1 и 2 , а в другом -3 и 4 , расположенные на прямых. На чертеже точке пересечения горизонтальных проекций прямых соответствует две фронтальные проекции точек 1 "" и 2 "". Аналогично - с точками 3 и 4 .

Прямые линии и организация пространства

Фронтальная и глубинные композиции из линий
и прямоугольников

даже самыми простыми средствами
можно достичь эмоциональной
образности

Для двух прямых в пространстве возможны четыре случая:

Прямые совпадают;

Прямые параллельны (но не совпадают);

Прямые пересекаются;

Прямые скрещиваются, т.е. не имеют общих точек и непараллельны.

Рассмотрим два способа описания прямых: каноническими уравнениями и общими уравнениями . Пусть прямые L 1 и L 2 заданы каноническими уравнениями:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1 , L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

Для каждой прямой из ее канонических уравнений сразу определяем точку на ней M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1 , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 и координаты направляющих векторов s 1 = {l 1 ; m 1 ; n 1 } для L 1 , s 2 = {l 2 ; m 2 ; n 2 } для L 2 .

Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы s 1 и s 2 коллинеарны, что равносильно равенству отношений координат этих векторов:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2 . (6.10)

Если прямые совпадают, то направляющим векторам коллинеарен и вектор M 1 M 2 :

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1 . (6.11)

Это двойное равенство также означает, что точка М 2 принадлежит прямой L 1 . Следовательно, условием совпадения прямых является выполнение равенств (6.10) и (6.11) одновременно.

Если прямые пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлинеарны, т.е. условие (6.10) нарушается. Пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и, следовательно, векторы s 1 , s 2 и M 1 M 2 являются компланарными определителя третьего порядка , составленного из их координат (см. 3.2):

Условие (6.12) выполняется в трех случаях из четырех, поскольку при Δ ≠ 0 прямые не принадлежат одной плоскости и потому скрещиваются.

Сведем все условия воедино:

Взаимное расположение прямых характеризуется количеством решений у системы (6.13). Если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений. Если прямые пересекаются, то эта система имеет единственное решение. В случае параллельных или скрещивающихся прямых решений нет. Последние два случая можно разделить, если найти направляющие векторы прямых. Для этого достаточно вычислить два векторных произведения n 1 × n 2 и n 3 × n 4 , где n i = {A i ; B i ; C i }, i = 1, 2, 3,4. Если полученные векторы коллинеарны, то данные прямые параллельны. Иначе они скрещивающиеся.

Пример 6.4.

Направляющий вектор s 1 прямой L 1 находим по каноническим уравнениям этой прямой: s 1 = {1; 3; -2}. Направляющий вектор s 2 прямой L 2 вычисляем с помощью векторного произведения нормальных векторов плоскостей, пересечением которых она является:

Поскольку s 1 = -s 2 , то прямые параллельны или совпадают. Выясним, какая из этих ситуаций реализуется для данных прямых. Для этого подставим координаты точки M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 в общие уравнения прямой L 2 . Для первого из них получаем 1 = 0. Следовательно, точка М 0 не принадлежит прямой L 2 и рассматриваемые прямые параллельны.

Угол между прямыми . Угол между двумя прямыми можно найти, используя направляющие векторы прямых. Острый угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами (рис. 6.5) или является дополнительным к нему, если угол между направляющими векторами тупой. Таким образом, если для прямых L 1 и L 2 известны их направляющие векторы s x и s 2 , то острый угол φ между этими прямыми определяется через скалярное произведение:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Например, пусть s i = {l i ; m i ; n i }, i = 1, 2. Используя формулы (2.9) и (2.14) для вычисления длины вектора и скалярного произведения в координатах, получаем