Как найти точки пересечения прямой и плоскости. Пересечение прямой с плоскостью общего положения

77*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной треугольником CDE (рис. 75, а).

Решение. Как известно, для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения следует через прямую провести вспомогательную плоскость (R), построить линию пересечения этой плоскости с заданной (1-2) и найти

точку пересечения (К) заданной и построенной прямых. Точка К является искомой точкой пересечения прямой с плоскостью (рис. 75, б). В качестве вспомогательной плоскости обычно используют горизонтально- или фронтально-проецирующую плоскость.

На рис. 75, в через прямую АВ проведена фронтально-проецирующая плоскость R, ее след R ϑ совпадает с а"в". горизонт. след плоскости в данной задаче не нужен и поэтому не показан.

Строим линию пересечения плоскости R и плоскости, заданной треугольником CDE (пример такого построения см. в задаче 67). Построив линию 1-2 (рис. 75, в), находим точку пересечения ее с прямой АВ - точку К (k, k").

Для определения участков прямой АВ, которые будут закрыты треугольником, следует воспользоваться анализом положения точек на скрещивающихся прямых.

Например, точки 1 и 3 находятся на скрещивающихся прямых (соответственно) ED и АВ. Фронтальные проекции этих точек совпадают, т. е. точки 1 и 3 одинаково удалены от пл. Н. Но расстояния их от пл. V различны: точка 3 находится дальше от пл. V, чем точка 1. Поэтому по отношению к пл. V точка 3 закрывает точку 1 (направление взгляда указано стрелкой S). Следовательно, прямая АВ проходит перед треугольником CDE до точки К. Начиная же от точки К влево прямая АВ закрывается треугольником, и поэтому этот участок прямой показан штриховой линией.

Для выявления невидимого участка на горизонт. проекции прямой АВ рассмотрим точки 4 и 5, лежащие соответственно на прямых АВ и CD.

Если смотреть на эти точки по направлению s 1 , мы видим сначала точку 5. Точка 4 закрывается точкой 5. Следовательно, прямая АВ в этом месте закрыта треугольником CDE, и участок ее проекции от точки k до точки 4 должен быть показан штриховой линией. В данном случае точка К оказалась внутри контура треугольника CDE.

При ином взаимном положении пересекающихся элементов возможен случай, когда точка К окажется вне треугольника (рис. 75, г). Это означает, что прямая АВ пересекает плоскость, заданную треугольником CDE, вне контура этого треугольника. АВ становится невидимой за точкой К (влево).

78. Найти точки пересечения прямой АВ с гранями пирамиды (рис. 76). Грани пирамиды следует рассматривать как плоскости, заданные треугольниками.

79. Найти точки пересечения прямой АВ с гранями призмы (рис. 77). Грани призмы следует рассматривать как плоскости, заданные параллельными прямыми.

80*. Найти точки пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 78, а).

Решение. Проводим через прямую АВ (рис. 78, бив) фронтально-проецирующую плоскость R (ее след R ϑ совпадает с а"b") и строим линию MN пересечения обеих плоскостей - заданной и проведенной через АВ (построение подобно выполненному в задаче 70). Искомая точка К(k, k") пересечения прямой АВ с плоскостью Р находится в точке пересечения MN с АВ.

В данной задаче видимость участка прямой от точки А до К очевидна; однако в более сложных случаях следует видимый участок прямой определять на основании

анализа положения точек. Например, взяв точку 1 (на прямой АВ) и точку N (на следе Р ϑ). видим, что точка 1 располагается дальше относительно пл. V, чем точка N. Следовательно, прямая АВ до точки К видима. За точкой К прямая показана штриховой линией она невидима. Аналогично определяется видимость на горизонт. проекции.

81. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 79).

82*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 80, а).

Решение. Через прямую АВ проводим горизонтально-проецирующую плоскость R (след R h совпадает с ab) и строим линию пересечения плоскостей Р и R,

используя точки М и N пересечения их одноименных следов (рис. 80, б и в). Искомая точка (k", k) находится в точке пересечения МN с АВ. На рис, 80, г точка К построена с помощью пл. W. Так как пл. Р профильно-проецирующая (рис. 80, б).

то профильная проекция k" лежит в точке пересечения следа P ω с а"b". Зная k", строим k" на а"b" и k на аb. Видимые участки прямой АВ определяются так же, как в задачах 77 и 80.

83. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 81).

84*. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью, заданной треугольником CDE (рис. 82, а).

Решение. Через прямую АВ проводим (рис. 82, б и в) пл. R, параллельную пл. W. Она пересекает заданную плоскость по прямой MN (точки m", n", m и n лежат на пересечении следов R ϑ и R h с одноименными проекциями соответствующих сторон

треугольника CDE). Так как прямые АВ и MN профильные, то для нахождения точки (К) их пересечения строим профильные проекции а"b" и m"n". Проекция k" находится на пересечении а"b" и m"m". По k" строим k" на а"b" и k на ab.

85. Найти точку пересечения прямой EF с плоскостью, заданной четырехугольником ABCD (рис. 83).

В этой статье мы ответим на вопрос: «Как найти координаты точки пересечения прямой и плоскости, если заданы уравнения, определяющие прямую и плоскость»? Начнем с понятия точки пересечения прямой и плоскости. Далее покажем два способа нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости. Для закрепления материала рассмотрим подробные решения примеров.

Навигация по странице.

Точка пересечения прямой и плоскости – определение.

Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

• прямая лежит в плоскости;
• прямая параллельна плоскости;
• прямая пересекает плоскость.

Нас интересует третий случай. Напомним, что означает фраза: «прямая и плоскость пересекаются». Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Это общую точку пересекающихся прямой и плоскости называют точкой пересечения прямой и плоскости .

Приведем графическую иллюстрацию.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости.

Введем в трехмерном пространстве Oxyz . Теперь каждой прямой соответствуют уравнения прямой некоторого вида (им посвящена статья виды уравнений прямой в пространстве), каждой плоскости отвечает уравнение плоскости (можете ознакомиться со статьей виды уравнения плоскости), а каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Дальнейшее изложение подразумевает знание всех видов уравнений прямой в пространстве и всех видов уравнения плоскости, а также умение переходить от одного вида уравнений к другому виду. Но не пугайтесь, по тексту мы будем приводить ссылки на необходимую теорию.

Давайте сначала детально разберем задачу, решение которой мы можем получить на основании определения точки пересечения прямой и плоскости. Эта задача нас подготовит к нахождению координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Является ли точка М 0 с координатами точкой пересечения прямой и плоскости .

Решение.

Нам известно, что если точка принадлежит некоторой прямой, то координаты точки удовлетворяют уравнениям прямой. Аналогично, если точка лежит в некоторой плоскости, то координаты точки удовлетворяют уравнению этой плоскости. По определению точка пересечения прямой и плоскости является общей точкой прямой и плоскости, тогда координаты точки пересечения удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости.

Таким образом, для решения поставленной задачи нам следует подставить координаты точки М 0 в заданные уравнения прямой и в уравнение плоскости. Если при этом все уравнения обратятся в верные равенства, то точка М 0 является точкой пересечения заданных прямой и плоскости, в противном случае точка М 0 не является точкой пересечения прямой и плоскости.

Подставляем координаты точки :

Все уравнения обратились в верные равенства, следовательно, точка М 0 принадлежит одновременно и прямой и плоскости , то есть, М 0 является точкой пересечения указанных прямой и плоскости.

Ответ:

Да, точка - это точка пересечения прямой и плоскости .

Итак, координаты точки пересечения прямой и плоскости удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости. Этим фактом и будем пользоваться при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Первый способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы прямая a и плоскость , причем известно, что прямая a и плоскость пересекаются в точке М 0 .

Искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости , как мы уже говорили, удовлетворяют и уравнениям прямой a , и уравнению плоскости , следовательно, они могут быть найдены как решение системы линейных уравнений вида . Это действительно так, так как решение системы линейных уравнений обращает каждое уравнение системы в тождество.

Отметим, что при такой постановке задачи мы фактически находим координаты точки пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями , и .

Решим пример для закрепления материала.

Пример.

Прямая, заданная уравнениями двух пересекающихся плоскостей как , пересекает плоскость . Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Решение.

Требуемые координаты точки пересечения прямой и плоскости мы получим, решив систему уравнений вида . При этом будем опираться на информацию статьи .

Для начала перепишем систему уравнений в виде и вычислим определитель основной матрицы системы (при необходимости обращайтесь к статье ):

Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому система уравнений имеет единственное решение. Для его отыскания можно воспользоваться любым методом. Мы используем :

Так мы получили координаты точки пересечения прямой и плоскости (-2, 1, 1) .

Ответ:

(-2, 1, 1) .

Следует отметить, что система уравнений имеет единственное решение, если прямая a , определенная уравнениями , и плоскость , заданная уравнением , пересекаются. Если прямая a лежит в плоскости , то система имеет бесконечное множество решений. Если же прямая a параллельна плоскости , то система уравнений решений не имеет.

Пример.

Найдите точку пересечения прямой и плоскости , если это возможно.

Решение.

Оговорка «если это возможно» означает, что прямая и плоскость могут не пересекаться.

. Если эта система уравнений имеет единственное решение, то оно даст нам искомые координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если эта система не имеет решений или имеет бесконечно много решений, то о нахождении координат точки пересечения не может быть и речи, так как прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Основная матрица системы имеет вид , а расширенная матрица - . Определим А и ранг матрицы Т :
. То есть, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы и равен двум. Следовательно, на основании теоремы Кронекера-Капелли можно утверждать, что система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Таким образом, прямая лежит в плоскости , и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Ответ:

Невозможно найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Если прямая пересекается с плоскостью , то найдите координаты точки их пересечения.

Решение.

Составим систему из заданных уравнений . Для нахождения ее решения используем . Метод Гаусса позволит нам не только определить, имеет ли записанная система уравнений одно решение, бесконечное множество решений или не имеет ни одного решения, но и найти решения в случае их наличия.

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса стало неверным равенством, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда заключаем, что прямая и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, мы не можем говорить о нахождении координат их точки пересечения.

Ответ:

Прямая параллельна плоскости и они не имеют точки пересечения.

Заметим, что если прямой a соответствуют параметрические уравнения прямой в пространстве или канонические уравнения прямой в пространстве , то можно получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a , и после этого находить координаты точки пересечения прямой a и плоскости разобранным способом. Однако проще использовать другой метод, к описанию которого мы и переходим.

Линия пересечения двух плоскостей - прямая линия. Рассмотрим сначала частный случай (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α π 1 , f 0 α Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π 1 , (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).

Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π 2 и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).

.

.

Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а - горизонтального уровня; б - фронтального уровня

Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.

В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 3.11).

.

Рис. 3.10. Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на рис. 3.11.

Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А 2 В 2 проведена фронтально-проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (π 2) эти точки представлены проекциями M 2 , N 2 . Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π 1) находятся горизонтальные проекции полученных точек M 1 N 1 . В пересечении горизонтальных проекций прямых А 1 В 1 и M 1 N 1 образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К 1). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К 2).

.

Рис. 3.11. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.

На плоскости π 2 рассмотрены две точки NEF и 1АВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (Y N >Y 1), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К 1) закрыта плоскостью DEF на плоскости π 2 (ее проекция К 2 1 2 показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π 1 .

Вопросы для самоконтроля

1) В чем заключается сущность метода конкурирующих точек?

2) Какие свойства прямой вы знаете?

3) Каков алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости?

4) Какие задачи называются позиционными?

5) Сформулируйте условия принадлежности прямой плоскости.

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью пользуемся следующим алгоритмом: прямую заключаем во вспомогательную плоскость, находим линию пересечения этих двух плоскостей (заданной и вспомогательной), и линия пересечения плоскостей в пересечении с заданной прямой даст искомую точку. Последним этапом в построении является определение видимости прямой при помощи конкурирующих точек.

Пример1. Плоскость задана следами (рис.70)

1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью необходимо через прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например, фронтально-проецирующую β π 2 , l "" f оβ , f оβ – собирающий след, h оβ х (рис.71).

2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскости М"=h оα ∩ h оβ , N""= f оβ ∩ f оα (рис.72).

3. Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения MN. К"=М"N"∩l ", К"" – в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К" и l "" .

4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.

Пример 2. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью (рис.73).

При построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью задача упрощается, т.к. одна из проекций искомой точки будет лежать на собирающем следе. На рис.73 дана горизонтально-проецирующая плоскость. Искомая точка К будет одновременно принадлежать плоскости α и прямой а .

Пример 3. Плоскость задана плоской фигурой (рис.74).

Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую β π 1 .l " h оβ , h оβ – собирающий след, f оβ х (рис.75).

2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей. М"=А"С"∩ hоβ М"" А""С"" и N"=В"С"∩ hоβ N"" В""С"" (рис. 76).

3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN. К""= М""N""∩l"". К" находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К"" и М"N" .

4. Определяем видимость прямой относительно ΔАВС с помощью конкурирующих точек.

Определяем видимость относительно плоскости π 2 .Отметим фронтальную проекцию 1"" совпадающую с 2"" . Горизонтальную проекцию 2" отметим на А"С" , а 1" на l" . Горизонтальная проекция 1" лежит перед 2" 2"" не видима относительно π 2 . Точка 1 лежит на прямой l, она видима на π 2 , следовательно, фронтальная проекция l" от 1"2"" до К"" видима, в точке К"" видимость меняется на противоположную.

Определим видимость прямой l относительно плоскости π 1 . Отметим горизонтальную проекцию 3" , совпадающую с горизонтальной проекцией М". М"" А""С"" уже отмечена, 3"" l" ". Фронтальная проекция М"" лежит выше фронтальной проекции 3"" , следовательно, точка М видима относительно π 1 . Точка 3 лежит на l , следовательно, от М"≡3" до К" , горизонтальная проекция l" невидима. В горизонтальной проекции К" видимость меняется на противоположную. За границами ΔАВС прямая l везде видима.

Здравствуйте друзья! Сегодня разбираем тему из начертательной геометрии – пересечение прямой линии с плоскостью и определение видимости прямой .

Задание берем из сборника Боголюбова, 1989 год, стр. 63, вар. 1. Нам требуется по заданным координатам построить комплексный чертеж треугольника ABC и прямой MN. Найти точку встречи (пересечения) прямой с непрозрачной плоскостью ABC.Определить видимые участки прямой.

Пересечение прямой линии с плоскостью

1. По координатам точек A, B и C строим комплексный чертеж треугольника и прямой NM. Начинаем чертить с горизонтальной проекции. Координаты точек проекции находим при помощи вспомогательных прямых.

2. Получаем вот такой комплексный чертеж.

3. Для определения координат точки пересечения прямой и плоскости выполним следующее.

a) Через прямую NM проводим вспомогательную плоскость Р, т.е. на фронтальной проекции проводим след плоскости Pv, на горизонтальную плоскость опускаем перпендикуляр Рн – горизонтальный след плоскости Р.

b) Находим фронтальную проекцию линии пересечения следа плоскости Р с треугольником АВС. Это отрезок d’e’. Горизонтальную проекцию находим по линиям связи до пересечения со сторонами ab (т. d) и ac (т. e) треугольника. Точки d и e соединяем.

c) Вместе пересечения de и nm будет находиться горизонтальная проекция искомой точки пересечения прямой линии с плоскостью k.

d) Проводим линию связи из k до пересечения с d’e’, получаем фронтальную проекцию точки k’.

e) по линиям связи находим профильную проекцию точки k’’.

Координаты точки пересечения прямой и плоскости К найдены. Эта точка также называется точкой встречи прямой и плоскости.

Определение видимости прямой

Для определения видимости прямой воспользуемся методом конкурирующих точек.

Применительно к нашему чертежу конкурирующими будут точки:

— точки: d’ принадлежащая a’b’ и e’ принадлежащая n’m’ (фронтально конкурирующие),

— точки: g принадлежащая bc и h принадлежащая nm (горизонтально конкурирующие),

— точки: l’’ принадлежащая b’’c’’ и p’’ принадлежащая n’’m’’ (профильно конкурирующие).

Из двух конкурирующих точек видимой будет та, высота которой будет больше. Граница видимости ограничена точкой К.

Для пары точек d’ и e’ видимость определяем так: опускаем перпендикуляр до пересечения с ab и nm на горизонтальной проекции, находим точки d и f. Видим, что координата по y для точки f больше, чем у d → точка f видима → видима прямая nm на участке f’k’, а на участке k’m’ невидима.

Аналогично рассуждаем и для пары точек g и h: на фронтальной проекции координата по z у точки h’ больше, чем у g’ → точка h’ видима, g’ – нет → прямая nm на отрезке hk видима, а на участке kn невидима.

И для пары точек l’’p’’: на фронтальной проекции координата по x больше у точки p’, а значит она закрывает собой точку l’’ на профильной проекции → р’’ видима, l’’ нет → отрезок прямой n’’k’’ видим, k’’m’’ невидим.