Алекс лесли — технология 'модель приза'. Современные проблемы науки и образования

После тяжелого рабочего дня каждый мечтает поскорее отдохнуть на любимой кровати и отвлечься увлекательными видеороликами. Любой посетитель нашего сайта сможет найти захватывающее видео на свой вкус и интерес. Даже самый изощренный зритель найдет для себя что-то достойное. Наш сайт дает возможность каждому посетителю смотреть видеоролики в свободном доступе, без всяких регистраций, а главное, все совершенно бесплатно.

Мы предлагаем для вас большое разнообразие развлекательных, познавательных, детских, новостных, музыкальных, юмористических видеороликов в отличном качестве, что не может не радовать.

Познавательные ролики никого не оставят равнодушным. Они содержат в себе подтвержденные факты, в которых дается подробное объяснение в определенной тематике. Завлекают такие ролики не только информативностью, а также живописностью и качеством картинки. Ролики о животных, природе и путешествиях увлеченно смотрят не только взрослые, но и дети. Ведь каждому очень интересно следить за животным миром в дикой природе, тем самым развиваться и познавать что-то новое для себя.

Юмористические видео отлично подойдут для вечернего времяпровождения. Как никогда после тяжелого рабочего дня юмор поможет отвлечься от жизненных проблем или же посмеяться от души в компании друзей. У нас вы сможете найти различные скетчи, стендапы, пранки, видеоприколы и различные комедийные шоу.

Музыка в жизни каждого человека очень важна. Она мотивирует каждого из нас, поднимает настроение, заставляет двигаться вперед. Для любого посетителя у нас есть отличные подборки музыкальных видеороликов, включающие в себя большое количество разнообразных жанров и стилей, зарубежных и отечественных исполнителей. Даже если вы чем-то увлечены, музыкальные видеоролики отлично подойдут для прослушивания на заднем фоне.

Видео новости – самый зрелищный формат современных новостей. На нашем сайте вы сможете найти разнообразные новостные видеоролики, на любые увлекательные для вас темы. Новости от официальных СМИ, новости спорта, науки, техники, моды, новости политики, скандальные события из мира шоу-бизнеса и многое другое. Вы всегда будете в курсе всех последних интересных, и самых важных новостей и событий в мире.

Маленькие дети очень активны, но иногда их требуется чем-то заинтересовать, чтобы заняться своими делами или просто отдохнуть за чашечкой кофе. В этом деле родителям отлично помогут мультфильмы. Ведь именно мультики помогут привлечь вашего ребенка на несколько часов. У нас имеется большое разнообразие старых и новых мультфильмов, коротких и полнометражных. Для любого возраста и любых интересов. Ваш ребенок останется в восторге, а вы отвлечетесь.

Мы очень рады, что наш сайт сможет помочь вам в различных жизненных ситуациях. Мы старались подобрать для наших зрителей годный контент. Желаем вам приятного просмотра.

УДК577.4:517.9

МОДИФИКАЦИЯ НЕОДНОРОДНОЙ МОДЕЛИ ЛЕСЛИ НА СЛУЧАЙ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ РОЖДАЕМОСТИ

БАЛАКИРЕВА А.Г.

что в каждый фиксированный момент времени (например, t0) популяцию можно охарактеризовать с помощью вектор-столбца

Анализируется неоднородная модель Лесли с отрицательными коэффициентами рождаемости. Изучается и прогнозируется возрастная динамика профессорско-преподавательского состава в рамках конкретного ВУЗа на основе данной модели.

1.Введение

где xi(tj) - численность i-й возрастной группы в момент времени tj , i = 1,...,n .

Вектор X(ti), характеризующий популяцию в следующий момент времени, например, через год, связан с вектором X(to) через матрицу перехода L:

Прогнозирование и расчет численности популяции с учетом ее возрастного распределения представляет собой актуальную и труднорешаемую задачу. Одной из ее модификаций является прогнозирование возрастной структуры однородной профессиональной группы в рамках конкретного предприятия или отрасли в целом. Рассмотрим подход к решению такого класса задач с использованием структурной модели распределения по возрастам. Формализм данного подхода базируется на известной в популяционной динамике модели Лесли .

Цель данной работы: показать возможность применения неоднородной модели Лесли на случай отрицательных коэффициентов рождаемости для прогнозирования развития динамики популяций.

2. Построение модели динамики популяции с учетом возрастного состава (модель Лесли)

Для построения модели Лесли необходимо популяцию разбить на конечное число возрастных классов (например, n возрастных классов) одинокой длительности, а численность всех классов регулировать в дискретном времени с равномерным шагом (например, 1 год) .

При названных предположениях и условии, что ресурсы питания не ограничены, можно сделать вывод, 40

Таким образом, зная структуру матрицы L и начальное состояние популяции (вектор-столбец X(t0)), можно прогнозировать состояние популяции в любой наперед заданный момент времени :

X(t2) = L X(ti) = LL X(t0) = L* 2 X(t0),

X(tn) = LX(tn-i) =... = LnX(t0). (1)

Матрица Лесли L имеет следующий вид:

^ai a2 . .. a n-1 a > u-n

0 Р 2 . .. 0 0 , (2)

v 0 0 . .. Р n-1 0 V

где a i - возрастные коэффициенты рождаемости, характеризующие число особей, родившихся от соответствующих групп; Pi - коэффициенты выживания, равные вероятности перехода из возрастной группы i в i +1 группу к следующему моменту времени (при-

чем ^ Pi может быть больше 1). i=1

РИ, 2011, № 1

Матрица L определяет линейный оператор в n -мерном евклидовом пространстве, который мы также будем называть оператором Лесли . Поскольку величины x;(t) имеют смысл численностей, они неотрицательны, и нас будет интересовать действие оператора Лесли в положительном октанте Pn n -мерного пространства. Так как все элементы матрицы неотрицательны (в этом случае сама матрица называется неотрицательной), то ясно, что любой вектор положительного октанта не выводится оператором Лесли за его пределы, т.е. траектория X(t j) (j = 1,2,...) остается в Pn. Все дальнейшие свойства модели Лесли вытекают из неотрицательности матрицы L и ее специальной структуры.

Асимптотическое поведение решений уравнения (1) существенно связано со спектральными свойствами матрицы L, основные из которых устанавливаются известной теоремой Перрона - Фробениуса .

Определение. Неоднородной моделью Лесли называется модель вида

X(tj+i) = L(j)X(to), L(j) = Li L2 ... Lj, j = 1,2,...,

где Lj - матрица Лесли j-го шага.

Динамика неоднородной модели изучена очень слабо (будучи во многом схожа с динамикой модели (1), имеет и некоторые отличия). В то же время эта модель несомненно реалистичнее.

3. Спектральные свойства оператора Лесли

Следуя работе рассмотрим понятие - индекс импримитивности матрицы Лесли.

Неразложимая матрица L с неотрицательными элементами называется примитивной, если она несёт в точности одно характеристическое число с максимальным модулем. Если матрица имеет h > 1 характеристических чисел с максимальным модулем, то она называется импримитивной. Число h называется индексом импримитивности матрицы L . Можно показать, что индекс импримитивности матрицы Лесли равен наибольшему общему делителю номеров тех возрастных групп, рождаемость в которых отлична от нуля. В частности, для примитивности матрицы Лесли

достаточно, чтобы а 1 > 0, либо чтобы рождаемость имела место в каких-нибудь двух последовательных группах, т.е. существовало такое j, что а j Ф 0 и

Учитывая сказанное выше, можно отметить некоторые свойства матрицы Лесли.

1. Характеристический многочлен матрицы L равен

An(P) = l1^-L = рn -«гр.n 1

Еаsиn sПРt,

что легко доказывается методом математической индукции.

2. Характеристическое уравнение A n(p) = 0 обладает единственным положительным корнем р1 таким, что

где р - любое другое собственное значение матрицы L . Числу р1 отвечает положительный собственный вектор X1 матрицы L .

Утверждение 2 свойства прямо следует из теоремы о неотрицательных матрицах и теоремы Декарта .

3. Знак равенства в (3) имеет место в том исключительном случае, когда лишь один из коэффициентов рождаемости отличен от нуля:

а k > 0, а j = 0 для j = 1,2,...,k - 1,k + 1,...,n.

4. Величина р1 определяет асимптотическое поведение популяции. Численность популяции неограниченно возрастает при И1 >1 и асимптотически стремится к нулю при И1 < 1. При И1 =1 имеет место соотношение

X1 = [-И-----,-И------,...,-^,1]"

Р1Р2 -Pn-1 P2---Pn-1 Pn-1

Положительный собственный вектор матрицы L , определяемый с точностью до множителя.

Индикатором свойства 4 для неразложимой матрицы Лесли вида (4) служит величина

R = а1 + £а iP1...Pi-1 , i=2

которая может интерпретироваться как репродуктивный потенциал популяции (обобщенный параметр скорости воспроизводства), т. е. если R > 1 , то р1 > 1 (популяция экспоненциально растет), если R < 1, то И1 < 1 (экспоненциально убывает), если R = 1, то И1 = 1 (стремится к предельному распределению).

4. Модификация модели Лесли на случай отрицательных коэффициентов рождаемости

В работах рассматривалась только модель Лесли с неотрицательными коэффициентами. Обоснованием такому выбору, помимо понятных математических преимуществ, было то, что как вероятности дожития, так и коэффициенты рождаемости по своей сути не могут быть отрицательными. Однако уже в наиболее ранних работах по моделям воспроизводства населения отмечалась актуальность разработки моделей с, вообще говоря, неположительными коэффициентами первой строки матрицы Лесли. Отрицательными коэффициентами, в частности, обладают модели воспроизводства биологических популяций с «антирепродуктивным» поведением особей не-

РИ, 2011, № 1

которых возрастных групп (уничтожение яиц и молодых особей и т.д.). К этому же способна привести конкуренция за ресурсы между новорожденными и представителями других возрастных групп. В связи с этим актуален вопрос о том, сохраняется ли свойство эргодичности, верное для моделей Лесли с неотрицательными коэффициентами, в более широком классе моделей воспроизводства демографического потенциала.

На этот вопрос отвечает следующая теорема .

Теорема (О круге инстабильности модели воспроизводства демографического потенциала).

Пусть заданы возрастная структура демографических потенциалов и числа живущих. Тогда существует круг л = (р: |р| < рmin }, такой, что режим воспроизводства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу.

У казанный круг будем называть кругом инстабильности, а его радиус - радиусом инстабильности.

Замечание 1. Из теоремы следует важный вывод -какова бы ни была структура демографического потенциала, при определенных величинах истинного коэффициента воспроизводства свойство эргодичности будет наблюдаться. В частности, свойством эргодичности могут обладать модели с отрицательными элементами в первой строке матрицы воспроизводства и даже отрицательными значениями демографических потенциалов.

Замечание 2. Из теоремы следует, что если при некотором значении истинного коэффициента воспроизводства модель обладает свойством эргодичности, то она обладает этим свойством и при всех больших по модулю коэффициентах воспроизводства.

5. Изучение возрастной динамики преподавательского состава ВУЗа. Численный эксперимент

Рассмотрим прогноз динамики численности и распределения по возрастам профессорско-преподавательского состава по данным одного из вузов Харькова. Стандартная, так называемая «сжатая», возрастная структура профессорско-преподавательского состава формируется статистикой в виде 5 возрастных категорий. В таблице приведены численности N каждой возрастной категории по годам и процент, который составляет данная возрастная категория по отношению к общей численности.

Составим матрицы перехода L j, такие что

X(tj+i) = LjX(tj) (Lj (5 х 5)). (4)

Для этого необходимо в матрице вида (2) определить коэффициенты рождаемости и выживаемости. Коэффициенты выживаемости возможно получить путем

непосредственного решения уравнения (4), используя данные из таблицы.

Структура профессорско-преподавательского состава

1 <40 322 38 242 38 236 36 273 40

2 40;49 117 14 88 14 95 15 90 14

3 50;59 234 27 163 26 160 25 156 24

4 60:65 88 10 68 11 79 12 69 11

5 65> 93 11 68 11 79 12 69 11

Итого 854 629 649 657

Что же касается коэффициентов рождаемости, то необходимо сделать дополнительные предположения. Пусть каждый год численность профессорско-преподавательского состава увеличивается на десять человек. Поскольку коэффициенты рождаемости а; интерпретируются как средняя плодовитость особей i-й возрастной группы, можно предположить, что а1, а 5 = 0 , и а 2 = 7 , а 3 = 3 . Опираясь на исходные данные, получаем, что а 4 являются отрицательными. Это условие интерпретируется как уход некоторых членов профессорско-преподавательского состава из вуза. Из сказанного следует, что матрицы L j имеют вид:

0 0 в 3 0 0 . (5)

Мы будем рассматривать только репродуктивные классы. Для этого необходимо изменить вид приведенной матрицы (избавимся от последнего нулевого столбца). А пострепродуктивные классы вычислим как показано в пункте 2.

Таким образом, учитывая сказанное и исходные данные, получаем две матрицы:

Матрица Li вида (5) с коэффициентами а4 = 15, Р1 = 0.27, р2 = 1.39, р3 = 0.29;

Матрица L2 вида (5) с коэффициентами а 4 = 11, Р1 = 0.381, р2 = 1.64, р3 = 0.43 .

Матрицы L1 и L2 отвечают переходам 2005-2006 и 2007-2008 годов соответственно. За начальное распределение по возрастам возьмем вектор X(t0) = T .

Данные матрицы имеют коэффициенты воспроизводства р1, которые не попадают в круг инстабилизации. Отсюда следует, что популяция с заданным режимом воспроизводства обладает свойством эргодичности.

Применяя неоднородную модель Лесли с заданным начальным распределением, получаем, что, начиная с n=30 для общей численности, выполняется условие

РИ, 2011, № 1

стабилизации следующего вида: X(tj+1) = ^1X(tj), j = 20,..., где ц = 1.64 является наибольшим собственным значением матрицы L 2.

После стабилизации процентное соотношение возрастных категорий имеет вид: первая категория - 39%, вторая - 14%, третья - 22%, четвертая - 12%, пятая -13%.

Поскольку наибольшее собственное число больше единицы, наша модель является открытой. В связи с этим будем рассматривать не общую численность профессорско-преподавательского состава, а отношение данной численности к степени наибольшего

собственного значения матрицы L2:

L(j)X(t0)/цк, где j = 1,2,....

На рисунке приведена динамика возрастной структуры профессорско-преподавательского состава до 2015 года.

П ро цент

2004 2005 2007 2008 2013 2015

Изменения долей возрастных категорий с течение времени

На данном рисунке был выбран масштаб от 10 до 40, поскольку процентное соотношение возрастных категорий находится в этом диапазоне.

Прогнозные модельные данные в целом сохраняют общую тенденцию к увеличению доли сотрудников старше 50 лет, что говорит о том, что тенденция к «старению» возрастного состава ВУЗа сохраняется. Было определено, что необходимо увеличить первые две возрастные категории хотя бы на 23% с соответствующим уменьшением остальных возрастных категорий для изменения данной тенденции.

Научная новизна заключается в том, что впервые была рассмотрена неоднородная модель Лесли на случай отрицательных коэффициентов рождаемости. Это позволяет учесть в модели не только рождаемость, но и смертность особей, находящихся в прегенеративном периоде, что делает модель более реалистичной. Наличие отрицательных коэффициентов принципиально меняет методику исследования динамики модели Лесли путем рассмотрения отвечающей ей области локализации главного собственного значения (круг инста-бильности).

Практическая значимость: данная модель позволяет прогнозировать изменения численности популяции и ее возрастную структуру с учетом как рождаемости, так и смертности в каждой из возрастных групп. В частности, используя реальные статистические данные, охватывающие несколько ВУЗов города Харькова, был осуществлен прогноз динамики возрастного изменения профессорско-преподавательского состава. Прогнозные данные достаточно хорошо коррелируют с реальными.

Литература: 1. Leslie P.H. On the use of matrices in certain population mathematics // Biometrica. 1945.V.33, N3. P.183212. 2. Зубер И.Е, Колкер Ю.И., Полуэктов Р.А. Управления численностью и возрастным составом популяций // Проблемы кибернетики. Вып.25. С.129-138. 3. Ризниченко Г.Ю, Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: Изд. МГУ, 1993. 301 с. 4. Свирежев Ю.М, Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.352 с. 5. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. М.: Наука, 1967.548 с. 6. Логофет Д.О, Белова И.Н. Неотрицательные матрицы как инструмент моделирования динамики популяций: классические модели и современные обобщения // Фундаментальная и прикладная математика. 2007.Т. 13. Вып. 4. С.145-164. 7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. 433 с.

Знаете ли вы, кто такая Лесли Хорнби? Пожалуй, совсем немного людей правильно ответит на этот вопрос. А кто такая Твигги? Это имя известно практически всем, ведь фото известной модели и сейчас без труда можно отыскать в интернете. Многие удивятся, узнав, что эти два имени принадлежат одному человеку, супермодели, актрисе, телеведущей, музыканту, дизайнеру одежды.

Легендарная Твигги прославилась в середине 60-х годов прошлого столетия в качестве модели, хотя ее карьера в этой ипостаси длилась всего 4 года. Ее узнаваемый образ девочки-подростка, знаменитый макияж и сегодня эксплуатируется звездами различной величины. Она сделала модными яркие платья до середины колена. Примечательно, что рост модели – всего 165 см. Зато ее вес никогда не превышал 50 кг. Такие параметры стали тогда модельными. Недавно мы снова могли видеть ее на экранах в качестве судьи шоу «Топ-модель по-американски».

Детство девочки-тростинки

Маленькая Лесли родилась в 1949 году в Лондоне. Ее детство прошло в районе Нисден. Ранние фото Твигги свидетельствуют, что и в детстве она была очень красивой девочкой. Росла будущая супермодель в семье плотника и официантки. В те времена работа родителей приносила достаточный доход, чтобы воспитать трех дочерей. На самом деле, биография звезды не пестрит трагическими событиями. Ее детство можно смело называть счастливым.

Молодость не имеет ничего общего с возрастом. Молодость - это свобода духа.

Но уже в подростковом возрасте Лесли Хорнби пошла работать ассистентом в салон красоты, где уже трудилась ее старшая сестра Вив. Казалось, что девушка нашла свое место. Лесли обладала необычной внешностью, но рост ее не был высоким, а вес очень незначительным. Чрезмерная худоба всегда была поводом для насмешек со стороны окружающих.

Уже в то время
начал проявляться
непревзойденный стиль Твигги

На работе же она проявляла фантазию, когда создавала прически, макияж клиентам. Советовала, какое платье подойдет женщине или девушке, которая пришла в салон. Она с легкостью могла сформировать подходящий для посетителей образ.

Первые шаги в качестве модели

Именно в салоне красоты Лесли заметил представитель модельного агентства, который и предложил сотрудничество. Девушка стала лицом салона известного в те времена лондонского парикмахера Леонардо. Ее фото украшало витрину заведения. Ее образ создавали талантливые стилисты. Их не смущал маленький рост модели, и полностью устраивал ее вес.

Стрижка «под мальчика», легендарный макияж Твигги – все это можно увидеть на ранних фото модели. Первую фотосессию проводил знаменитый фотограф Барри Латеган. Именно он придумал псевдоним Твигги, что в переводе означает тонкая тросточка. Девочка в коротком платье выглядела на снимках потрясающе.

Лучшего имени для девушки-подростка просто не было, ведь ее образ был именно таким легким, ранимым, меланхоличным. В 16 лет ее вес был чуть больше 40 кг и это при среднем росте 165 см. Кстати, Твигги всегда адекватно оценивала свои параметры. Она понимала, что ее роста недостаточно, чтобы стать подиумной моделью. Да и образ девушки не соответствовал такой работе.

Поэтому всегда отбрасывала советы друзей попробовать себя на этом поприще. Какое-то время девушка снималась исключительно для фото рекламных компаний, глянцевых журналов. Но она просто не могла не запомниться именитыми дизайнерами. Ее прическа, стиль, макияж до сих пор считаются легендарными. Она стала получать множество приглашений на показы. Буквально за год Твигги стала всемирно известной.

Карьера

Твигги стала известной певицей, выпустила более 20 альбомов, которых объединяет единый стиль. Она снимается в кино, играет в театре. Сегодня легендарная модель ведет собственное ток-шоу, участвует в разнообразных телепроектах. Жизнь Твигги всегда насыщена событиями.

Взрослой женщине уже больше 60 лет, а выглядит она так, что ей завидуют многие молодые девушки. В это сложно поверить, но даже ее вес остался прежним. С годами Твигги сохраняет фигуру, благодаря которой она стала знаменитой. Нынешние фото свидетельствуют о ее превосходной физической форме.

Бабушка Лесли выпускает книги, в которых рассказывает о том, как всегда выглядеть привлекательно, держать в определенных рамках вес, как формировать собственный стиль, выбирать прически, наносить макияж, как ставить в жизни цели и добиваться их. Ее творения считаются библией для женщин. А стиль Твигги и сейчас считается модным, актуальным.

Последователи таланта

Сегодня популярную модель из 60-х все чаще сравнивают с Кейт Мосс. У них действительно немало общего. Они обе из Великобритании, не отличаются высоким ростом, стали известны благодаря почти болезненной худобе, ведь вес обеих звезд всегда был малым. Сегодня такие параметры считаются типичными для моделей. Даже макияж и стиль звезд часто сходен.

Возможно, именно Твигги стала для Кейт личным мотиватором. Еще одна личность, известная сейчас, и взявшая имя супермодели, - Твигги Рамирес. Гитарист группы Marilyn Manson Джорди Уайт по примеру своих коллег взял в качестве псевдонима имя легенды ХХ-го века Твигги и фамилию серийного убийцы, маньяка Ричарда Рамиреса.

Участие в шоу «Топ-модель по-американски»

На момент завершения , место в жюри которого на тот момент занимала Дженис Дикинсон, встал вопрос о ее замене. Эпатажная супермодель не отличалась толерантностью к участницам, все ее комментарии были слишком прямолинейными. Именно ее место в судейском кресле заняла Твигги. Вежливая британка, имеющая собственный стиль, изменила шоу.

Его участницы были счастливы познакомиться с супермоделью. Она стала ярким примером того, что карьера модели может привести девушек даже с невысоким ростом к невероятным высотам. Твигги участвовала в шоу вплоть до 9-го сезона.

Личная жизнь

У супермодели Твигги была бурная личная жизнь. Дважды она выходила замуж официально, родила дочь. Сегодня она счастлива в браке с актером Леем Лоусоном. Они живут в браке с 1988 года.

Матричные модели популяций

Детализация возрастной структуры популяций приводит к классу моделей, впервые предложенных Лесли, (1945, 1948). Пусть ресурсы питания не ограничены. Размножение происходит в определенные моменты времени Пусть популяция содержит n возрастных групп. Тогда в каждый фиксированный момент времени (например,) популяцию можно охарактеризовать вектор-столбцом

Установим вид этой матрицы. Из всех возрастных групп выделим те, которые производят потомство. Пусть их номера будут k, k+1 ,..., k+p. Предположим, что за единичный промежуток времени особи i-й группы переходят в группу i+1, от групп k, k+1,..., k+p появляется потомство, а часть особей от каждой группы погибает. Потомство, которое появилось за единицу времени от всех групп, поступает в группу 1.

Аналогично получаются третья компонента и все остальные. Предположим, что все особи, находившиеся в момент t0 в последней возрастной группе к моменту t1 погибнут. Поэтому последняя компонента вектора X (t1) составляется лишь из тех особей, которые перешли из предыдущей возрастной группы.

Вектор X(t1) получается умножением вектора X(t0) на матрицу

Таким образом, зная структуру матрицы L и начальное состояние популяции - вектор-столбец X(t0), - можно прогнозировать состояние популяции в любой наперед заданный момент времени. Главное собственное число матрицы L дает скорость, с которой размножается популяция, когда ее возрастная структура стабилизировалась.

Пример популяции из трех возрастных групп (Уильямсон, 1967)

Пусть возрастная динамика популяции характеризуется матрицей:

Такая запись означает, что исходная популяция состоит из одной самки старшего возраста (вектор столбец в правой части уравнения). Каждое животное старшего возраста, прежде чем умереть, успевает произвести в среднем 12 потомков, каждое животное среднего возраста, прежде чем умереть или перейти в следующий возрастной класс (вероятности этих событий одинаковы) производит в среднем 9 потомков. Молодые животные не производят потомства и с вероятностью 1/3 попадают в среднюю возрастную группу. По прошествии одного временного интервала в популяции будет уже 12 самок младшего возраста:

Далее процедуру следует повторять на каждом шаге. Из графика видно, что до некоторого момента времени (" t10), наблюдаются колебания численности, после чего количество самок всех трех возрастов экспоненциально возрастает, причем со-отношение между ними остается постоянным. Главное собственное число l1 при этом равно 2, т.е. размер популяции за каждый временной шаг удваивается.

Наклон графика равен ln l1 - собственной скорости естественного прироста. Соответствующий главному собственному числу собственный вектор отражает устойчивую структуру популяции и в нашем случае равен

Этот пример страдает тем же недостатком, что и модель Мальтуса экспоненциального роста: мы допускаем, что популяция может неограниченно расти. Более реалистическая модель должна учитывать, что все элементы матрицы L являются некоторыми функциями размера популяции.

Модели с применениями матриц Лесли для крупных возрастных групп могут дать описание колебательных изменений численности популяции. Пример такой модели? описание динамики популяции овсеца Шелли? мелкодерновинного злака северных луговых степей (Розенберг, 1984). Модель позволила описать наблюдаемые в природе явления - старение овсеца и колебания распределений по возрастному спектру в течение ряда лет (рис. 3.19).

Построена двухматричная модель Лесли, описывающая динамику популяции Амурского тигра на территориях Приморского и Хабаровского краев. Первая матрица предназначена для моделирования динамики популяции в фазе роста численности, вторая – в фазе стабилизации. При определении размерности матриц, значений коэффициентов рождаемости и выживаемости использованы данные по биологии вида из различных источников, а также данные переписей 1959–2015 годов. Переход с первой матрицы на вторую произошел при достижении численности популяции значения порядка 475 особей, что обусловлено достижением численности популяции предельного значения при существующих кормовых и пространственных ресурсах, необходимых для ее существования на данных территориях. Проведено сравнение полученных в результате применения модели данных с данными переписей, а также обсуждение особенностей ее применения.

матрица лесли

математическая модель

динамика популяции

амурский тигр

1. Герасин С. Н., Балакирева А. Г. Моделирование циклических колебаний в модифицированной модели Лесли. – [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.imath.kiev.ua/~congress2009/Abstracts/Balakireva.pdf.

2. Дунишенко Ю. М. Амурский тигр. – [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.wf.ru/tiger/tiger_ru.html.

3. История изучения Амурских тигров в России. – [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://programmes.putin.kremlin.ru/tiger/history.

4. Кречмар М. А. Полосатая кошка, пятнистая кошка. – Москва: Издательский дом «Бухгалтерия и банки», 2008. – 416с.

5. Матюшкин Е. Н., Пикунов Д. Г., Дунишенко Ю. М., Miquelle D. G., Николаев И. Г., Смирнов Е. Н., Абрамов В. К., Базыльников В. И., Юдин В. Г., Коркишко В. Г. Численность, структура ареала и состояние среды обитания амурского тигра на Дальнем Востоке России // Для Проекта по природоохранной политике и технологии на Дальнем Востоке России Американского Агентства Международного развития. – Изд. USAID-США. 1996 (На русском и английском языках). – 65 с.

6. Подведены предварительные итоги учета амурского тигра. – [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.wwf.ru/resources/news/article/13422.

7. Тарасова Е. В. Моделирование динамики популяции амурского тигра с помощью матицы Лесли // Вестник образования и науки. – 2012. – № 1. – С. 19-24.

8. Юдин В. Г., Баталов А. С., Дунишенко Ю. М. Амурский тигр. – Хабаровск: Издательский дом «Приамурские ведомости», 2006. – 88с.

9. Leslie P. H. On the use of matrices in certain population mathematics // Biometrica. – 1945. – V.33, No. 3. – P.183-212.

10. Leslie P. H. Some further notes on the use of matrices in population mathematics. Biometrica, 1948. V.35.

Данная работа является продолжением и развитием работы , поэтому представленные здесь результаты будут частично повторять результаты из этой работы.

Матричная модель для описания динамики численности популяций, структурированных по возрастным группам, была предложена Лесли (Leslie) в работах , . Суть модели Лесли состоит в следующем. Пусть популяция разделена на n возрастных групп. Тогда в каждый фиксированный момент времени (например, t0) популяцию можно охарактеризовать вектор-столбцом,

где xi(t0) - численность(t0) i-й возрастной группы (1in). Вектор-столбец X(t1), характеризующий популяцию в следующий момент времени t1, связан с вектором X(t0) через матрицу перехода L: X(t1)=L X(t0) следующего вида

В первой строке у этой матрицы стоят коэффициенты рождаемости для i-го возраста (k≤i≤k+p), под диагональю - коэффициенты выживаемости для j-го возраста (1≤j≤n-1), а остальные элементы равны нулю.

Такой вид матрицы базируется на предположении, что за единичный промежуток времени особи j-й возрастной группы переходят в j+1-ю, при этом часть из них погибает, а у особей i-й группы рождается за этот период потомство. Тогда первая компонента вектора X(t1) будет равна

где αixi(t0) (k≤i≤k+p) - число особей, родившихся от i-й возрастной группы, а вторая и последующие - xl(t1)=βl-1xl-1(t0) (2≤l≤n, 0≤βl-1≤1), где βl-1 - коэффициент выживаемости при переходе от l-1-го возраста ко l-му.

X(t1)=L X(t0); X(t2)=L X(t1)= L2 X(t0); X(ti)=L X(ti-1)= Li X(t0).

Согласно теореме Перрона - Фробениуса, матрица Лесли имеет единственное положительное собственное значение λ такое, что для любого другого собственного значения r этой же матрицы выполняется условие |r|≤λ. Это собственное значение называется доминирующим, старшим или главным и характеризует скорость размножения популяции. Если все элементы матрицы являются константами, то, в зависимости от значения λ, возможен один из трех сценариев развития популяции. Если λ<1, то численность популяции будет стремиться к нулю, ecли λ>1, то будет постоянно возрастать. Наконец, если λ=1, то численность популяции, начиная с некоторого момента времени, станет постоянной, при этом соотношение между различными возрастами в ней стабилизируется. В реальности коэффициенты рождаемости и смертности могут сложным образом зависеть от общей численности популяции, соотношения ее компонент, а также от изменения условий среды обитания.

Объектом для моделирования был выбран амурский (уссурийский) тигр (Panthera tigris altacia), обитающий на юге Дальнего Востока России, а также, в Китае и, возможно, в Корее.

Начиная с 50-х годов XX века в Российской Федерации проводятся регулярные учеты численности амурских тигров, последняя из которых прошла в 2015 году. Данные этих учетов сведены в нижеследующую таблицу (по , и ).

Таблица 1

Распределение и численность амурских тигров на Дальнем Востоке России

Приморский край	Хабаровский край	Всего особей

На основании данных учетов 1959-2005 гг., а также сведений о рождаемости и смертности в популяции, почерпнутых нами в различных источниках (, , ), была построена модель Лесли .

За единицу времени был выбран один год. Поскольку в природе продолжительность жизни амурского тигра не превышает 15 лет, то. n вектора-столбца X и матрицы L была положена равной 15. Начиная с трехлетнего возраста, самка тигра способна рожать и сохраняет эту способность до конца жизни. Раз в 2-3 года она рожает в среднем 2-3 котёнка. Считая, что плодовитость тигриц от возраста не зависит и, принимая соотношение полов в популяции равным 1:1, для коэффициентов рождаемости были установлены значения α1= α2=0, αi=0,5 (3≤i≤15).

Согласно источникам, смертность котят до 3-х лет равна примерно 50 %, что соответствует коэффициентам выживаемости β1=β2=0,71. Поскольку данных по смертности взрослых тигров в доступных источниках найти не удалось, решено было подобрать для них коэффициенты выживаемости таким образом, чтобы значения для численности популяции, полученные путем вычислений, максимально соответствовали данным учетов (на тот момент 1959-2005 гг.). Для этого с помощью программы Excel была создана матричная модель Лесли, и проведены необходимые численные эксперименты, в результате которых для коэффициентов β3=…=β14 было выбрано значение 0,815.

В итоге, матрица Лесли приобрела вид

Старшее собственное число матрицы λ1=1,0387, что означает возрастание численности популяции в каждый последующий момент времени, а соответствующий ему собственный вектор V1T= (0,7011; 0,4793; 0,3276; 0,2571; 0,2017; 0,1583; 0,1242; 0,0975; 0,0765; 0,0600; 0,0471; 0,0369; 0,0290; 0,0227; 0,0178) с течением времени формирует устойчивую возрастную структуру популяции (соотношение возрастных групп внутри популяции).

Для вектор-столбца X(t0), соответствующему состоянию популяции амурского тигра в 1959 году, была выбрана структура этого собственного вектора. Общее число тигров мы положили равным 90. Полученные в результате вычислений значения численности всегда округлялись до целых чисел. Результаты вычислений представлены на приведенном ниже графике. Как можно из него видеть, применение модели Лесли для расчета динамики популяции амурского тигра дало хорошие результаты для периода с 1959 по 1996 год: полученные в результате вычислений значения либо соответствовали данным наблюдений, либо незначительно от них отличались, фиксируя увеличение численности примерно в 1,5 раза каждые 10 лет. Картина изменилась для последнего периода наблюдений. Модель дала очередное увеличение численности за 9 лет в 1,4 раза, тогда как данные обследований показали тенденцию к стабилизации численности популяции.

Рис.1. Оценки численности популяции амурского тигра в 1959-2005 гг. по данным учетов и c помощью одноматричной модели Лесли

Этот факт нашел следующее объяснение. За годы освоения русскими территории обитания амурского тигра, начиная с 60-х годов XIX века, происходило непрерывное уничтожение этих животных. Так продолжалось вплоть до введения запрета охоты на них в 1947 году, после чего началось постепенное восстановление численности популяции. Поскольку, по оценкам ученых, за годы интенсивной охоты первоначальная численность популяции сократилась примерно в 20 раз - с 1000 до 50 особей (, ) - увеличение её в первые десятилетия происходило в условиях избытка кормовых и пространственных ресурсов. В конце XX - начале XXI века этот процесс завершился - численность популяция достигла своего естественного предела. Почему это произошло при вдвое меньшей численности, чем в XIX веке, также находит разумное объяснение: за годы интенсивной хозяйственной деятельности человека площадь территорий, пригодных для обитания амурских тигров, значительно сократилась.

Таким образом, предложенная нами матрица Лесли L1 с постоянными коэффициентами может быть использована для моделирования динамики популяции Амурского тигра в период с 1959 (или даже с 1947) по 1996 год. Для описания динамики популяции этого животного в последующий период, в связи с изменившимися внешними условиями, необходимо построить матрицу Лесли с другими значениями коэффициентов, перейдя в результате к модифицированной двухматричной модели, аналогично тому, как это предложено в . Для этого мы предположили, что, поскольку динамика численности популяции находится в фазе стабилизации, старшее собственное значение λ у описывающей ее матрицы Лесли должно быть приблизительно равно 1. Поскольку никаких данных об изменении уровня рождаемости за последние годы не было обнаружено, решено было получить искомую матрицу путем уменьшения коэффициентов выживаемости для котят β1 и β2. Коэффициенты выживаемости для старших возрастов остались неизменными. С помощью численных экспериментов были получены новые значения коэффициентов выживаемости β1=β2=0,635, а матрица Лесли приобрела вид

Старшее собственное число матрицы λ2=1,0021, а соответствующий ему собственный вектор V2T = (0,7302; 0,4627; 0,2932; 0,2385; 0,1939; 0,1577; 0,1283; 0,1043; 0,0849; 0,0690; 0,0561; 0,0456; 0,0371; 0,0302; 0,0246).

При моделировании динамики популяции с помощью двухматричной модели переход с матрицы L1 на матрицу L2 был осуществлен после 1999 года, когда численность достигла 475 особей. Результаты вычислений представлены на рисунке 2.

Рис. 2. Оценки численности популяции амурского тигра в 1959-2015 гг. по данным учетов и c помощью двухматричной модели Лесли

Как видно из приведенного выше графика, после 1999 года некоторое время продолжается незначительный рост численности популяции. Так, в 2015 году она составляет 510 особей, что хорошо согласуется с последними данными учетов (см. Таблицу 1). Начиная с 2017 года, согласно модели, численность популяции стабилизируется на уровне 512 особей.

Таким образом, нами была построена двухматричная модель Лесли, описывающая динамику популяции Амурского тигра на территориях Приморского и Хабаровского краев, согласующаяся с результатами учетов животного в 1959-2015 гг. Первая матрица предназначена для моделирования динамики популяции в фазе роста численности, вторая - в фазе стабилизации. Переход при моделировании с первой матрицы на вторую происходит при достижении численности популяции значения порядка 475 особей, что обусловлено ограниченным объемом кормовых и пространственных ресурсов, необходимых для существования популяции на данных территориях.

Описанная модель является достаточно грубой, что обусловлено, в первую очередь, недоступностью или отсутствием более полной информации по особенностям биологии и темпам воспроизводства вида. При ее наличии могут быть уточнены значения коэффициентов рождаемости и выживаемости, возрастная структура популяции, но общая численность популяции, рассчитываемая с помощью модели, существенно не изменится.

В заключение добавим несколько замечаний.

Во-первых, модель не описывает численность популяции на других территориях, кроме Приморского и Хабаровского краев, по причине отсутствия по ним достоверных данных. Стабилизация численности популяции на описываемых территориях не означает, что на других территориях не может происходить ее рост, как незначительный (Амурская и Еврейская Автономная области Российской Федерации), так и существенный (провинции Хэйлунцзян и Цзилинь Китайской Народной Республики).

Во-вторых, всякая популяция может переживать не только фазы роста и стабилизации, но и фазу падения численности. В нашей модели последняя фаза отсутствует, так как в современных условиях реализации межгосударственной стратегии, направленной на сохранение популяции амурского тигра, падение его численности может быть только кратковременным и обусловленным одной из следующих причин: инфекционные заболевания, резкое сокращение кормовой базы вследствие неурожая, болезней или суровой зимы, и, наконец, антропогенной катастрофы (пожар, техногенная авария). Все эти события не могут быть спрогнозированы заранее, а по их завершении популяция, скорее всего, опять окажется в фазе роста.

В-третьих, матрица L2, которая соответствует фазе стабилизации численности популяции, пригодна для моделирования именно в современных условиях и ресурсах, необходимых для существования вида. Их изменение в будущем возможно в двух направлениях, причем одновременно. В сторону уменьшения - вследствие уменьшения территорий для обитания из-за антропогенного воздействия (вырубка лесов, истребление копытных). В сторону увеличения - вследствие искусственного увеличения кормовой базы в рамках реализации программы по сохранению вида.

Библиографическая ссылка

Тарасова Е.В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИИ АМУРСКОГО ТИГРА С ПОМОЩЬЮ ДВУХМАТРИЧНОЙ МОДЕЛИ ЛЕСЛИ // Современные проблемы науки и образования. – 2016. – № 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=24313 (дата обращения: 15.01.2020). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»